Hele-Shaw 셀에서 finger 대류에 관한 실험적 연구

조은수(정), 최창균(종)*, 윤도영(정)**

미원유화 중앙연구소, 서울대학교 화학공학과*, 광운대학교 화학공학과**

Experimental Studies on Finger-Convection in a Hele-Shaw Cell

Eun Su Cho, Chang Kyun Choi*, Do-Young Yoon**

Miwon Petrochemical Corporation, Ichon-si, Korea,

Department of Chemical Engineering, Seoul National University*,

Department of Chemical Engineering, Kwangwoon University**

서 론

Hele-Shaw 셀에서 저점도의 가스가 고점도인 유체를 가속시키는 경우 조건에 따라서 두 층의 경계면에서는 finger 모양의 대류가 관찰된다. 이러한 점도에 기인한 finger 대류는 점성력, 중력 및 표면장력의 상대적인 크기에 의하여 발생된다. 또한 finger 대류는 finger의 성장 속도가 증가되면 대체로 선단에서 분기가 발생하게 되며, 일반적으로 연속적인 형태의 분기가 반복되어 나타난다. Hele-Shaw 셀에서 finger 대류의 불안정성은 조건에 따라서 분기의 형태가 달라지게 된다. 이들 finger 대류가 분기되는 형태는 선형 안정성 이론(linear stability theory)과 밀접한 관련이 있는 것으로 나타났다. 따라서 본 연구에서는 성장하고 있는 finger 대류가 가지고 있는 불안정성 요인을 점도와 Hele-Shaw 셀의 구조적인 영향들을 고려하여 살펴보았다.

Hele-Shaw 셀에서의 finger 대류의 흐름 특성은 다공 매질층에서의 흐름 특성과 유사하다. 따라서 원유의 시추, 유동층, 지하수 문제 등과 같은 다공 매질층과 관련된 공정에 응용될 수 있으며 가스사출 성형 등과 같은 분야의 연구에 도움을 줄 것으로 기대된다.

이 론

Hele-Shaw 셀에서의 흐름특성은 다공매질의 흐름특성인 Darcy의 법칙을 따르는 것으로 알려져 있다. Hele-Shaw 셀 내에 점도와 밀도가 다른 두 개의 유체층이 자유경계면(free surface)을 이루고 있으면서 경계면이 일정한 속도로 이동하고 있다. 이때의 지배 방정식과 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: rm del cdot u~=~0]                                 (1)

[eqn: rm del cdot P~=~-{12``mu} over b^2 u`` +``rho``g]                           (2)

경계면에서의 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: rm n cdot u~=~O`(Ca^2/3 `)]                              (3)

[eqn: rm [ P ] = {2`gamma} over b `(`1`+`3.8`Ca^2/3 `+` CDOT CDOT CDOT )~+~ gamma over R ``[`pi over 4 `+`O`(Ca^2/3`)`]]       (4)

여기서 P, u, b, R,[eqn: ``mu,``gamma]는 각각 압력, 속도, 셀의 두께, 곡률반경, unit normal vector, 점도, 표면장력이다. 한편[eqn: rm Ca`(=mu``U`/`gamma`)`]는 모세관 수를 나타낸다.  Ca 이외에 다음과 같은 것들이 중요한 인자로 알려져 있다.

(변형된 모세관 수)          [eqn: rm Ca sub m ``=``{12`mu`U } over gamma (`W`/`B`) ^2]                 (5)

(점도비)                        [eqn: rm A`=` {mu`-`mu sub G } over {mu `+`mu sub G }]                      (6)

(변형된 Darcy-Rayleigh 수)   [eqn: rm G`=`{(rho`-`rho sub G `)`g`B ^2 } over {12`(`mu`+`mu sub G `) `U}]                  (7)

여기서 W는 Hele-Shaw 셀의 너비를, B는 간격의 크기 및 하첨자 G는 유체속을 파고드는 기체와 같은 저점도를 나타낸다.

서로 불용성인 두 유체의 경계면에서의 안정성 문제는 선형 안정성 이론의 dispersion relation에 따르면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: rm sigma`=`(`A`+`G`)`k`-`{(A`+`1`)`k ^3} over{2`Ca`sub m }]                 (8)

여기서 □는 교란의 성장률, k는 무차원 파수[eqn: (=`2`pi{rm`W`}/l`)]를 나타내고, l은 파장의 길이를 나타낸다. 임계파장 kc는 □=0에서 구하여지며, 교란의 성장률이 최대가 되는 파장은 다음과 같다.

[eqn: {l sub m rm } over {rm B} `=``2 ``pi``LEFT [{rm {2`(A`+`G`)``Ca sub m }} over {A`+`1} RIGHT ] sup-1/2]                 (9.a)

혹은

[eqn: {l sub m rm } over {rm W} `=``2 ``pi``LEFT [{rm {2`(A`+`G`)`Ca }} over {3`(A`+`1)} RIGHT ] sup-1/2]                  (9.b)

그리고 교란의 임계파장과 최대파장은[eqn: l sub m ``=``root 3`l sub c]이고 여기서 lc는 kc (즉[eqn: sigma`=`0``])에 해당하는 임계파장을 나타내며, [eqn: l~ >= ~l sub c`]가 되면 계가 불안정해 진다. Tabeling 등에 따르면 [eqn: rm A` CONG`1,~G`=`0`] 일때 초기에 Hele-Shaw 셀에 놓여진 평평한 경계면은[eqn: rm Ca sub m~ >= `4`pi`sup2 `]의 영역에서 계가 불안정해진다고 보고하였다. 위와 같은 해석은 Chouke 등에 의한 것으로 표면장력에 의하여 짧은 wave는 성장이 억제되는 것으로 알려져 있다.  실험에 의하면 교란의 형태 중에서 가장 빠르게 성장하는 finger가 계속해서 자라나게 된다.

실 험

본 실험에서 사용된 Hele-Shaw 셀은 유효면적이 100 □ 500 mm 이고, 깊이는 각각 1, 2 mm 및 3 mm인 세 가지로 제작되었다. 셀의 아래 판은 두께의 균질성을 위하여 표면 처리된 강철로, 위판은 유동의 가시화를 위하여 두께가 20 mm인 아크릴 판으로 제작되었다. 사용된 유체로는 동점도가 1, 10, 100 St인 실리콘 오일을 사용하였다. 유체의 구동과 그 양은 실린지 펌프를 사용하여 조절하였으며, 가시화 되는 유동현상은 8 mm 비디오 사진기로 촬영하였다. 촬영된 현상들은 컴퓨터에서 화상처리 되어 유속을 비롯한 각종 자료들이 산출되었다. 또한 실험온도에서 밀도, 점도와 표면장력을 각각 측정하였다. 밀도는 간단한 비중계를 이용하여 측정하였으며, 점도는 298 K에서 RMS-800E 점도계를 사용하여 측정하였다. 또한 표면장력은 환형의 계면장력계를 이용하여 측정하였다.

결 과

실험의 결과는 Ca의 값에 따라 크게 두 영역으로 구분할 수 있었다.  그 중 하나는 정상상태로 finger가 자라나는 것이고, 다른 하나는 finger의 자유경계면이 Ca 값이 커짐에 따라서 불안정해져서 finger의 선단이 갈라지는 것이었다. Finger의 경계면이 불안정해져서 분기가 발생될 경우에 나타나는 모양은 갈라지는 끝에 따라 분류할 수 있었다. 즉 양옆에서 변형이 발생하는 type I과 끝이 둘, 셋, 넷으로 갈라지고 이는 각각 type II, type III, type IV로 구분할 수 있었다. 그리고 이들의 모양을 고려하여 분기될 때의 파장을 측정하여 이들을 Fig. 1에 나타냈다. Fig. 1에는 선형안정성 이론에 의하여 구한 임계파장 lc/B와 lm/B를 함께 나타냈다. 그림에서 나타난 것과 같이 경계면이 불안정해져서 교란이 증폭하고 이들이 다시 측정이 가능하려면 시간이 흘러야한다. 그림에서 나타난 것과 같이 실제 측정된 파장은 이론에서 예측한 파장보다 대부분 위에 속하는 영역을 보인다. 그러나 그래프의 경향은 이론에서 예측한 것과 유사하게 나타났다. 또한 실험에 사용된 셀의 두께 B가 1, 2 및 3 mm로 세 가지를 사용하므로서 두께가 변화되더라도 분기되는 파장은 일정한 경향을 보이는 것으로 나타났다.

한편 분기가 발생될 때의 파장을 측정하려면 각각의 분기되는 type에 따라서 기준점을 잡는 방법이 두 가지 있다. 분기가 발생되기 시작하는 지점을 잡는 경우와 분기가 완전히 끝난 상태에서 파장을 측정하는 방식이 있다.  본 연구에서는 파장이 교란의 형태를 만족하는 형태에 도달하였을 때의 파장을 측정하였다. 이들 파장의 측정은 측정의 오차가 발생할 가능성이 존재하므로 분기가 시작되는 시점에서의 파장을 분기되는 거리 Lc(사출지점으로 부터 분기가 발생하기 시작하는 지점까지의 거리)를 구하여 보았다. 이들의 타당성을 살펴보기 위하여 셀의 두께가 1 mm인 실험에서의 lm과 Lc를 서로 비교하여 이를 Fig. 2에 나타내 보았다. 그림에서 나타난 것과 같이 lm과 Lc는 서로 선형의 관계를 유지하고 있다. 따라서 본 연구에서는 Lc를 사용하여 해석하였다.

Finger가 성장하면서 계면이 불안정해지는 경우에는 불안정성의 발생지점과 사출지점으로 부터의 거리 Lc는 Ca 값에 따라서 정리가 됨을 확인할 수 있었다. 이들을 Fig. 3에 나타내 보았다. 이때 셀의 두께는 1 mm이었다. 그림에서 나타난 바와 같이 이들 finger들이 분기되는 type은 Ca 값이 커짐에 따라서 type I, type II, type III 및 type lm과 IV 등으로 증가되는 양상을 보인다. 그리고 특이한 점은 초기에 셀 내에 채워둔 액체의 양이 작을 경우에는 Lc가 짧아지고 일정한 양(10 cm) 이상일 경우에는 변화가 없는 것으로 관측되었다.

한편 Fig. 4는 식(9.b)와 같이 Lc/W와 Ca와의 관계를 살펴보았다.  Fig. 4에서 나타난 것과 같이 이론에서 예측한 것과 같이 Lc는 Ca 값이 커짐에 따라서 감소하는 경향을 보인다. 그리고 셀의 두께 B가 커지면서 Lc는 커지는 경향을 보여주고 있다.  그리고 Fig. 3과 같이 Ca 값이 커지면서 분기되는 type도 I, II, III 및 IV 등으로 커지는 경향을 나타내고 있다.

Fig. 1  Critical wavelength vs. Ca    Fig. 2  Comparison Lc/W vs. lm/W

Fig. 3  Lc/W vs. Ca, B=1 mm     Fig. 4  Lc/W vs. Ca, B=1, 2 & 3 mm

참고문헌

1. Hele Shaw, H. S. : Trans. Int. Nav. Archit., Land., 40, 21(1898).

2. Chouke, R. L. et al. : Trans. AIME, 216, 188(1959).

3. Homsy, G. M. : Ann. Rev. Fluid Mech., 19, 271(1987).

4. McLean, J. and Saffman, P. G., : J. Fluid Mech., 102, 455(1981).

5. Tabeling, P. et al. : J. Fluid Mech., 177, 67(1987).