다품종생산 회분식 공정에서 저장시간제약을 고려한 공정운용 모델개발

하진국, 이의수

동국대학교 화학공학과

Completion times in serial multiproduct batch processes

with storage time restrictions

Jin Kuk Ha, Euy Soo Lee

Dept. of Chemical Engineering, Dongguk University

1 서론

회분식 공정은 공정내의 중간저장조의 크기, 위치 및 역할에 따라 UIS, NIS, FIS, ZW 등 4가지로 공정 운용 방안을 분류할 수 있다. 그러나 일반적으로 화학반응이 일어나는 경우, 반응기내의 체류되는 조건은 최적화된 조건으로 주어지므로 회분식 반응기에서의 공정이 완료된 제품들은 즉시 다음단계로 이송되어야 하며, 그렇지 않을 경우 제품의 규격 이상이 발생될 수 있다. 따라서 실제 산업현장의 회분식 공정의 운용은 NIS 와 ZW 의 두가지 운영형태가 번갈아 발생하는 형태로 주어진다. 또한 대부분의 정밀화학 제품들은 시간의 경과에 따라 제품의 물성이 민감하게 변하는 경시변화를 수반한다. 따라서 생산과정의 중간 제품을 일시적으로 저장하거나, 최종제품을 출하를 위하여 저장할 경우에 있어서 대부분의 경우 제품의 품질변화를 최소화하기 위해 중간저장조에서의 저장시간의 제약을 받게된다. 본 연구에서는 이와 같이 실제 산업현장의 회분식 공정의 운용 방안인 ZW 와 NIS 운영 방안 각각에 대해서 그리고 ZW 와 NIS 의 운영형태가 번갈아 발생하는 방안에 대해서 중간저장조의 저장시간이 제한되어 있을 경우의 회분식 공정운용의 모델 개발, 제시하였다. 또한 이들 모델에 대한 수식해를 그래프 기법을 이용하여 구하였으며, 몇 가지 예를 통하여 결과를 검증하였다.

2 본론

실제 산업현장의 회분식 공정의 운용 방안인 ZW 와 NIS 운영 형태에서 중간저장조의 저장시간에 제한이 있을 경우의 모델 개발을 위하여 도입된 가정은 다음과 같다.

1) 모든 제품은 모든 장치에서 같은 순서로 처리되어진다.

2) 현재 진행되고 있는 공정이 항상 우선이다.

3) 단위 공정에서의 중간 생성물은 반드시 중간저장조를 거쳐서 다음 공정으로      이동한다.

4) 중간저장조는 공유되어지지 않고 장치와 장치사이에 존재한다.

5) 다음 단위공정이 준비되지 않았을 경우, 항상 중간저장조를 사용할 수 있다.

6) 중간저장조에서 다음 단위공정으로의 이동시간은 이전 단위공정에서 중간저      장조로의 전달시간과 동일하다.

7) 중간저장조의 사용 시간이 제한되어 있다.( □= 일정 )

8) 중간저장조의 cleaning time 은 무시한다.

2.1 ZW 운용방안을 채택하고 있는 Serial 구조

연속구조의 다품종 회분식공정이 ZW 모드로 운용되며, 각 공정에서의 transfer time 과 set-up time을 고려할 경우의 makespan 모델식은 다음과 같이 주어진다. 이때 ZW 마지막공정(unit P)에서의 holding은 허용되지 않는다.(Fig 1. 참조)

u1  ·…   uP        ST       uP+1·…  uM

Fig 1. ZW serial 구조

[eqn: C_1j = C_1(j-1) +a_1(j-1) +d1_(i-1)j +t_1j]

[eqn: C_ij = C_(i-1)j +a_(i-1)j +t_ij]  ( i = 2, 3,∼ P-1)

[eqn: C_Pj = C_{(P-1)(j-1)} +a_(P-1)j +t_Pj]

[eqn: C_(P+1)j =max"{" C_Pj +2a_Pj +t_(P+1)j , C_{(P+1)(j-1)} +d2_(j-1)j +t_(P+1)j"}"]

[eqn: C_ij = C_(i-1)j +a_(i-1)j +t_ij]  ( i = P+2, P+3, ...... M )

Makespan = [eqn: C_NM + a_NM]

여기서

[eqn: d 1_ij] = 1 ∼ P unit 까지의 delay time

[eqn: d 2_ij] = P+1 ∼ M unit 까지의 delay time

[eqn: d1_ij = d1_ij^* + max"{"~0,~ theta_i ~"}"]

[eqn: &d1_ij ^* = max"{" s_1ij +a_0j , SUM from k=2 to m [t_ki +a_ki ]+s_mik -t_1j - sum from k=2 to m-1 [t_kj +a_(k-1)j ] "}"]

[eqn: &d1_ij ^** = d1_ij ^* +t_1j + SUM from k=1 to P-1 [t_ki +a_(k-1)i ]-s_Pij - sum from k=2 to P [t_ki +a_ki ]]

[eqn: & theta _i = [C_{(P+1)(j-1)} + a_{(P+1)(j-1)} +d2_ij ] - [C_P(j-1) +d1_(j-1)j ^** +t_Pj +a_Pj + alpha ]]

2.2 ZW-NIS 운용방안을 채택하고있는 Serial구조

본 대상구조는 Fig 2. 에서와 같이 상류공정이 ZW 공정운용을 하류공정이 NIS 공정운용 방식을 채택한 경우다. 이때 transfer time 과 set-up time을 고려하였으며, ZW 공정의 마지막 공정에서의 holding이 허용되지 않는 경우에 대한 결과 모델식이다.

u1  ‥‥  uP        ST        uP+1‥‥  uM

ZW                          NIS

Fig 2. ZW-NIS serial 구조

[eqn: C_1j =C_1(j-1) +a_1(j-1) +d_(i-1)j +t_1j]

[eqn: C_ij =C_(i-1)j +a_(i-1)j +t_ij](i=2,3∼P-1)     [eqn: C_Pj =max LEFT { C_(P-1)j +t_Pj +a_(P-1)j ,C_{(P+1)(j-1)} +a_{(P+1)(j-1)} +s_{(P+1)(j-1)j}-alpha +a_Pj RIGHT }]

[eqn: &C_ij =max {left{ C_(i-1)j + t_ij +a_(i-1)j, C_i(j-1) +t_ij +a_i(j-1) +s_i(j-1)j +a_(i-1)j ,}# &~~~~~~~~~~~~~C_{(i+1)(j-1)} +a_{(i+1)(j-1)} +s_{(i+1)(j-1)j}right}}]

(i=P+1, P+2∼M)

Makespan = [eqn: C_NM + a_NM]

여기서

[eqn: d_ij = d_ij ^* + max"{" 0,~ w_i - alpha ~ "}"]

[eqn: &d_ij ^* = max"{" a_0j , SUM from k=2 to P [t_ki +a_ki ]+s_Qik -t_1j - sum from k=2 to P-1 [t_kj +a_(k-1)j ] "}"]

[eqn: w_i = [C_Pi - C_(P-1)i ]- [t_Pj +a_(P-1)i ]]

[eqn: &w_i ~> alpha ~~ 이면 ~~ d_ij = d_ij ^* + w_i - alpha],  [eqn: &w_i ~ <= alpha ~~ 이면 ~~ d_ij = d_ij ^*]

2.3 NIS-ZW 운용방안을 채택하고 있는 Serial구조

일반적인 직렬구조의 회분공정은 NIS 와 ZW 의 두가지 운영형태가 번갈아 발생하는 경우로 Fig 3.과 같다.

u1   ‥  uP       ST      uP+1 ·  uQ      ST     uQ+1 ‥  uM

NIS                          ZW                        NIS

Fig 3. NIS-ZW-NIS serial 구조

ZW 방침을 사용하는 첫 단위공정을 P+1, 마지막 공정을 Q라 하면, makespan 은 다음의 식으로 주어진다.

[eqn: &C_ij = max {left{{ C_(i-1)j + t_ij +a_(i-1)j +a_(i-1)j , C_i(j-1) +t_ij +a_i(j-1) +s_i(j-1)j}}# &~~~~~~~~~~~+a_(i-1)j , ~C_{(i+1)(j-1)} +a_{(i+1)(j-1)} +s_{(i+1)(j-1)j}right}}]

( i = 1, 2,··P-1, Q+1,··M )                       (1)

[eqn: &C_Pj =max{left{ C_(P-1)j + t_Pj +a_(P-1)j , C_P(j-1) +t_Pj +a_P(j-1) +s_P(j-1)j +a_(P-1)j ,}# &~~~~~~~~~~~~~C_{(P+1)(j-1)} +a_{(P+1)(j-1)} - alpha + d_(j-1)j right}}]

(2)

[eqn: &C_(P+1)j = max {left{ C_Pj + t_(P+1)j +2a_Pj ,}# &~~~~~~~~~~~~~~~~~ C_{(P+1)(j-1)} +t_(P+1)j +a_{(P+1)(j-1)} +d_(j-1)j right}}]           (3)

[eqn: C_ij = C_(i-1)j + t_ij]   ( i = P+2, P+3, ·· Q-1)                        (4)

[eqn: &C_Qj = max {left{ C_(Q-1)j + t_Qj +a_(Q-1)j , }# &~~~~~~~~~~~~~ C_{(Q+1)(j-1)} +a_{(Q+1)(j-1)} +s_{(Q+1)(j-1)j} +a_Qj - alpha right}}]          (5)

Makespan = [eqn: C_NM + a_NM]                                            (6)

여기서

[eqn: d_ij = d_ij ^* + max"{" 0,~ w_i - alpha "}"]

[eqn: &d_ij ^* = max"{" s_Pij +a_(P-1)j ,# &~~~~~~~~~SUM from k=P+2 to Q [t_ki +a_ki ]+s_mik -t_Pj - sum from k=P+1 to Q-1 [t_kj +a_(k-1)j ] "}"]

[eqn: w_i = [C_Qi - C_(Q-1)i ]- [t_Qj +a_(Q-1)i ]]

[eqn: &w_i ~> alpha ~~ 이면 ~~ d_ij = d_ij ^* + w_i - alpha],[eqn: &w_i ~ <= alpha ~~ 이면 ~~ d_ij = d_ij ^*]

3. 예제

Fig 4.와 같이 5개의 회분공정 장치가 NIS 와 ZW 의 운영형태로 번갈아 발생하는 공정구조에서 4가지 제품을 생산할 경우의  makespan을 계산한 결과이다. 여기서 중간저장조의 저장제한 시간인 □는 15로 두었으며 각각의 공정시간은 Table 1.에 나타내었다.

u1        u2       ST       u3        ST        u4        u5

NIS                    ZW                      NIS

Fig 4. 예제 NIS-ZW-NIS serial 구조

Table 1.  Data for example

Processing times          Transfer times             Set-up times

1  2  3  4              1  2  3  4                 1  2  3  4

2  4  5  1      0

1  1  6  9  5              3  1  2  4      1

2  8  2  6  2              2  3  3  5      2      1   -  5  3  4

3  5  7  3  7              4  2  2  4      3      2   1  -  2  3

4  8  2  3  4              1  5  4  3      4      3   3  4  -  1

5  4  9 10  1              3  3  4  2      5      4   4  2  2  -

Unit                                        Unit   product

* 중간저장조의 저장 제한 시간(□) = 15

Table 1.의 Data를 식(1)∼(6)을 가지고 계산한 각각의 [eqn: C_ij]값과 Makespan값은 다음과 같다. C11=3, C21=14, C31=23, C41=35, C51=40, C12=21, C22=24, C32=40, C42=50, C52=64, C13=38, C23=46, C33=55, C43=69, C53=79, C41=50, C42=56, C43=73, C44=85, C54=89, Makespan=91. 본 결과를 Fig 5.에 Gantt Chart로 나타내었다.

Fig 5. 예제의 Gantt Chart

4. 결론

현재까지 개발된 최적 공정운용을 위한 기본 모델들은, 중간저장조의 저장시간에 제약이 없는 경우에 국한하고있으므로 실제의 응용에 많은 제약이 있는 실정이다. 본 연구에서는 이러한 제약을 완화하는 보다 일반화된 모델인 중간저장조의 저장시간이 제한되어 있을 경우의 공정의 운영방안에 관한 모델을 제시하였으며 또한 이들 모델에 대한 수식해를 구하였다. 본 연구결과와 기존의 제시된 모델을 통합하여, 화학공정의 특수성을 반영한 회분식 공정의 보다 일반화되고 실제 산업현장에 적용이 가능한 모델개발에 도움이 되리라 기대된다.

5. 감사

본 연구는 한국과학재단의 특정기초 연구(과제번호 96-0502-08-01-3) 연구비지원에 의해 이루어졌으며 지원해주신 한국과학재단에 감사드립니다.

6. 참고문헌

1. D. Rajagopalan and I. A. Karimi, Completion times in serial mixed-storage     multiproduct processes with transfer and set-up times, Computers chem.      Engng, 13, 175∼186(1989)

2. H. M. Ku and I. Karimi, Completion time algorithms for serial

multiptoduct batch processes with shared storage, Computers chem. Engng,

14, 49∼69(1990)