분해 알고리즘을 이용한 열교환망의 최적 개량 설계

박성택, 이태용

한국과학기술원 화학공학과

Optimal Retrofit Design of Heat Exchanger Network

using Decomposition Algorithm

Sungtaek Park and Tai-yong Lee

Department of Chemical Engineering, KAIST

서론

공정의 운전비용을 절감하기 위해 열 회수율 향상을 목적으로 하는 열교환망의 설계는 지금까지 활발히 연구되어 왔다. 공정흐름과 유틸리티의 데이터로부터 공정 운전에 필요한 유틸리티의 양을 최소화하는 열교환망의 합성 방법은 크게 핀치 이론에 기반한 경험적인 방법과 최적화를 이용하는 수학적 기법으로 나눌 수 있으며, 실제로 새로운 공정의 설계에 도입되어 상당한 비용의 감소를 가져왔다. 그러나, 기존에 설계되어 운전중인 공정의 경우, 이미 존재하는 열교환기의 활용이라는 측면을 고려하지 않았기 때문에 위의 방법으로 구한 해가 경제적인 관점에서 최적이라고 할 수 없다. 본 연구에서는 A.R. Ciric과 C.A Floudas[1]가 제안한 MINLP 수학적 모델링을 기초로하여 이미 열교환기가 존재하는 기존 공정의 개량된 열교환망을 합성하는 방법을 제시하고, 이를 위해 분해 알고리즘을 적용함으로써 최적의 망구조를 결정하고자 한다. 그리고 개발된 프로그램을  Alkylation 공정에 적용하여 보다 열효율이 향상된 공정 구조와 운전조건을 제시하고자 한다.

문제 정의

공정의 열 회수율 향상을 위한 열교환망 합성은 기본적으로 공정흐름과 유틸리티에 대한 데이터를 필요로 한다. 즉, 열교환기를 통해 냉각되어야 할 온류와 가열되어야 할 냉류의 수, 그리고 각 흐름의 열용량 유속, 도입 온도와 배출 온도, 열 전달 계수 등이 있어야 한다. 유틸리티의 경우에는 공정흐름과 같이 기본적인 데이터와 함께 각 유틸리티의 단위 비용이 주어져야 한다.

기존 공정에 대한 열교환망의 개량 설계의 경우, 추가적으로 이미 존재하는 열교환기에 대한 정보를 필요로 하게 된다. 각 열교환기를 통과하는 공정흐름, 열교환기의 면적 등 기존의 열교환기와 관련된 데이타 뿐만 아니라, 설계과정을 통해 새로운 열교환기를 구입할 때의 비용, 열교환기를 지나는 흐름을 바꾸기 위한 비용을 계산하기 위한 비용상수들이 있어야 한다.

이상의 주어진 정보를 이용하여 외부로부터 도입되어야 할 유틸리티의 양을 최소화할 뿐만 아니라, 이미 존재하는 열교환기를 최대한 활용하는 동시에 공정 의 전체 개조 비용을 최소화하는 열교환망의 구조를 결정하게 된다. 이를 위해 제안된 여러 가지 방법을 적용하면 필요한 유틸리티의 양, 새로운 열교환기의 추가 및 존재하는 열교환기의 면적 증가 여부, 각 열교환기를 지나는 공정흐름 및 열교환기의 면적과 열부하 등을 계산할 수 있다.

수학적 표현

열교환망의 개조 설계는 다음과 같은 과정을 통해 이루어진다.

- 열 회수 효율을 최대화하기 위한 흐름 매치를 선택

- 선택된 흐름 매치의 열부하 및 필요한 면적의 계산

- 기존 열교환기를 이용/ 다른 위치의 열교환기를 이용/ 새 열교환기의 구입 여부 결정

- 새 열교환기 구입시 설치 비용의 계산

- 기존 열교환기 이용시 추가될 면적에 따른 비용 및 재배치 비용의 계산

ㅇㄹㅇㄹ공정의 열 회수를 통한 외부 유틸리티 비용의 최소화와 열교환망의 개량 설계를 위한 총 개조 비용의 최소화는 경쟁 관계를 이룰 뿐만 아니라, 유틸리티 비용 최소화를 위한 흐름 매치는 개량 비용을 계산하기 위한 열교환기의 면적과 관련이 있기 때문에, 위에서 언급한 모든 사항을 동시적으로 고려하는 혼합 정수 계획법(MINLP) 형태의 문제로 표현될 수 있다. 따라서, 본 연구에서 고려하는 열교환망의 개량 설계를 위한 최적화의 목적함수는 총 개량 비용을 최소화 하는 것이며 다음과 같이 표현된다.

[eqn: OBJ=min sum from {i} sum from {j}[(alpha{A}`_{ij} ^{beta}+{c}_{N}){m}_{ij}+sum from n ({alpha}^{'}{({X}`_{ij}^{n})}^{beta}^{'}+{c}`_{ij}^{n}){z}`_{ij}^{n}]{Y}_{ij}]     (1)

여기서,[eqn: {Y}_{ij}]는 흐름 매치의 여부를 나타내는 이진 변수이고,[eqn: {m}_{ij}]와[eqn: {z}`_{ij}^{n}]는 흐름 매치를 위해 새 열교환기를 구입할 것인지 또는 이미 존재하는 열교환기(n)을 사용할 것인지를 결정하는 설계 변수이다. 새 열교환기를 구입할 경우, 흐름 매치의 열부하를 만족하는 열교환기의 면적은[eqn: {A}_{ij}]이고, 기존의 열교환기를 이용할 경우 추가되어야 할 면적은[eqn: {X}`_{ij}^{n}]로 계산된다. [eqn: {alpha},{beta},c] 는 각각의 경우 개량 비용을 계산하기 위한 가격 상수이다.

제한 조건으로는 열교환망의 개량 설계를 위한 각 단계를 나타내는 등식과 부등식이 있으며, Transshiment 모델[2], 네트웍 온구조[3], 흐름 매치-열교환기 할당식[1]으로 구성된다.

Transshipment 모델은 최대 열회수를 위한 흐름 매치와 그 열부하를 계산한다. 네트웍 온구조는 공정 흐름의 가능한 모든 형태를 나타내는 식으로 구성된다. 흐름 매치-열교환기 할당식은 이미 존재하는 열교환기의 위치와 새 열교환기의 구입 여부를 결정하게 된다.

분해 알고리즘

열교환망 개조 설계를 위한 최적화문제는 목적함수가 이진변수에 대해 비선형인 혼합 정수 계획법(MINLP) 문제이다.

[eqn: &{OBJ=min~ f(x,y)} atop {scale75 x,y~~~}# &~~~~s.t.~~h(x,y)=0# &~~~~~~~~~g(x,y)```<=`0# &~~~~~~~~~~~~~~~x~:연속변수,~y~:이진변수]

이러한 형태의 문제를 효과적으로 풀기 위해 일반화된 분해 알고리즘(Generalized Benders Decomposition)[4]을 이용한다. 이 분해 알고리즘의 기본 아이디어는 변수를 복잡한 변수과 그렇지 않은 변수로 나누는 것이다. 변수들과 마찬가지로 제한조건들도 복잡한 변수를 결정할 수 있는 Master subproblem과 두 가지변수들을 모두 포함하는 Primal subproblem으로 나눈다. 만약, 복잡한 변수로서 흐름 매치를 결정하는[eqn: {Y}_{ij}] 이진 변수를 선택한다면, 할당 변수를 연속변수로 전환하였을 때 Primal subproblem은[eqn: {Y}_{ij}]의 값을 상수로 갖는 NLP가 되고, Master subproblem은[eqn: {Y}_{ij}]에 선형인 MILP가 된다.

[eqn: &{{OBJ}^{UP}=min~ f(x,{y}^{k})} atop {scale75 x}# &~~~~~~~~s.t.~~h(x,{y}^{k})=0# &~~~~~~~~~~`~~~g(x,{y}^{k})``<=`0]   [eqn: &{{OBJ}^{LO}= min ~ {mu}} atop {scale75 ~~~~~~~~~y}# &~~~~~~~~s.t.~{mu}>=L({x}^{k},y, {eta}^{k},{lambda}^{k} )=0##]

< Primal subproblem >                  < Master subproblem >

그림 분해 알고리즘

주어진 혼합 정수 계획법 문제의 해는 이 두 가지 subproblem을 반복적으로 계산함으로써 구하게 된다. 먼저, 복잡한 변수의 초기치를 설계자가 선택하거나 또는 복잡한 변수가 이진 변수일 경우 이를 이완하여 비선형 문제를 풀어서 반복계산에 들어갈 복잡한 변수의 초기값을 얻는다. 복잡한 변수가 상수로 취급되어 Primal subproblem을 풀면 연속 변수의 첫번째 값과 각 제한 조건의 라그랑지 곱수, 원래 문제의 목적함수의 상한값을 얻는다.

만약 Primal subproblem이 타당하지 않을 경우,문제를 일으킨 제한조건의 위배치들의 합을 최소화하는 타당성 문제를 구성하여 풀게되고, 위에서처럼 목적함수의 값은 얻을 수 없으나 타당한 연속 변수의 값과 제한 조건의 라그랑지 곱수를 얻을 수 있다.

각각의 경우에 구하여진 라그랑지 곱수로 구성된 라그랑지 함수와 복잡한 변수를 결정할 수 있는 제한조건들로부터 Master subproblem을 구성하게 된다. 일반적으로 복잡한 변수에 대해 선형인 MILP 문제로 구성되므로 비교적 쉽게 복잡한 변수의 새로운 값을 얻을 수 있으며, 목적함수의 하한값도 얻게 된다. 수정된 복잡한 변수의 값을 이용하여 다시 Primal subproblem을 풀게 되고, 반복적인 계산을 통해 목적함수의 하한값이 상한값보다 크게 되면 계산을 종료하게 된다.

이러한 분해 알고리즘은 목적함수나 제한조건이 이진변수에 대해 비선형일 때 효율적이며, Paules과 Floudas의 APROS 기법[5]을 이용하여 GAMS[6] 프로그램으로 구현하였다.

대상 시스템

본 연구에서는 alkylation 공장의 열 회수 시스템에 대하여 자동화된 열교환망 개량 설계를 적용하였다. 기존의 공장은 공정 흐름으로서 5개의 온류와 3개의 냉류를 가지고 있으며, 가열과 냉각을 위한 유틸리티는 각각 1개씩 있다. 또한, 모두 8개의 열교환기가 열 회수 시스템을 구성하고 있으며, 공정 흐름과 열교환기에 대한 데이터는 표 1, 2와 같다.

Unit	Area(□)	Heat(kW)
1	42.5	1750
2	41.5	750
3	68.3	4750
4	216.9	2400
5	11.9	230
6	112.5	1570
7	68.2	1300
8	48.6	4850

Stream	Fcp(kW/℃)	Tin(℃)	Tout(℃)	H(kW/□℃)
H1	35.0	540	490	1.2
H2	150.0	490	485	0.4
H3	50.0	485	390	0.9
H4	48.0	410	360	0.8
H5	45.0	360	320	0.8
C1	26.0	290	420	0.5
C2	130.0	420	430	0.1
C3	55.0	430	550	1.2
S1	-	620	620	4.0
W1	-	300	320	1.5
Steam cost : 90 , Cooling Water cost : 10 New Exchanger cost = 15,000 + 330*A Additional Area cost = 3000 + 330*A

표 2  열교환기 데이터

표 1  공정 흐름 데이터

주어진 데이터를 바탕으로 혼합 정수 계획법 모델과 GAMS 모델링 프로그램을 이용하여 분해 알고리즘을 적용하면 표3과 같은 개량된 열교환망을 얻을 수 있다.

Unit	stream match	Area(□)	Heat(kW)
1	h1.c3	77.88	1750
2	h2.c3	61.54	750
3	h3.c3	62.74	950
4	h3.c1	202.49	2500
5	h4.c1	30.30	880
6	h5.w1	119.67	1800
7	h3.c1	530.64	1300
8	s1.c3	35.74	3150
N	h4.w1	44.52	1520

표 3  개량된 열교환망

감사의 글

이 논문은 2000년도 두뇌한국 21 사업에 의하여 지원되었기에 감사드립니다.

참고 문헌

[1]	A.R. Ciric and C.A. Floudas : "A Mixed Integer Nonlinear Programming Model for Retrofitting Heat-Exchanger Networks", Ind. Eng. Chem. Res., 29, 239 (1990).

[2]	Papoulias, S. A. and Grossmann, I. E : "A Structural Optimization Approach in Process Synthesis-II. Heat Recovery Networks", Comput. Chem. Eng., 7, 707 (1989).

[3]	Floudas, C, A and Ciric, A. R : "Strategies for Overcoming Uncertainties in Heat Exchanger Network Synthesis", Comput. Chem. Eng., 13(10), 1133 (1989).

[4]	Geoffion, A. M. : "Generalized Benders Decomposition", J. Opt. Theory Appl., 10, 237 (1972).

[5]	G.E. Paules and C. A. Floudas : "APROS: Algoithmic Development Methodology for Discrete-Continuous Optimization Problems", Oper. Res., 37, 902 (1989).

[6]	Brooke, A., D. Kendrick and A. Meeraus : "GAMS: A Users Guide.", Scientific Press, Palo Alto, Calif.