불확실 인자를 고려한 회분식 공정의 실시간 최적 운용 방안

정 일배, 이 의수

동국대학교 화학공학과

Optimal scheduling of multiproduct batch process

with processing time uncertianty

Ilbae Jung, Euy Soo Lee

Department of Chemical Engineering, Dongguk University

1. 서론

현대 산업사회에서 화학공업은 소품종 다량생산에 적합한 연속식 공정형태에서 소비자의 취향에 맞는 제품의 생산에 적합한 다품종 소량생산형태의 회분식 공정으로 변화하고 있다. 이에 따라 회분식 공정의 생산계획(Scheduling)에 대한 연구가 진행되어 왔으며 최근의 회분식 공정에 관한 생산계획연구는 공정에 대한 수학적 형태의 생산계획식 개발과 개발된 생산 계획식을 이용한 최적 조업 순서 (Optimal sequence)의 결정에 집중되어 왔다. 그러나 실제 회분식 공정에 존재하는 많은 불확실 인자로 인하여 이론적으로 결정된 생산계획과 조업순서를 실제 적용에는 많은 제한이 따른다. 이러한 이유에서 불확실 인자를 고려한 회분식 공정의 운용에 대한 연구가 필요하게된다.

본 연구에서는 조업시간의 불확실 인자를 가지는 회분식 공정에 적합한 on-line scheduling 방법을 개발하였다. 특히 엄격한 제한을 가지는 회분식 공정의 형태인 ZW에 대하여 Worst-case start time shift method 와 Optimal start time shift method의  2가지 경우의 방법을 제시하였다. 또한 새로운 공정 운용의 형태인 Modified ZW와 Modified NIS를 개발하였고, 이에 대한 최적 생산 계획 수립 방법을 제시하였다.

2. ZW공정의 동적 생산계획

① Worst-case approach

제약조건이 엄격한 ZW 공정이 운용될 때 적용될수 있는 방법으로 가능한 모든 경우에 대한 적용으로 batch failure의 확률은 없으나 makespan이 증가하여 생산성이 저하되는 단점이 있다. 다음은 worst case 에 대한 생산모델식이다.

[eqn: rm C_ij = S_i-1,i + sum from j=p to M t_ij]

[eqn: rm S_i-1,i = C_i-1,1 +d_i-1,i + SHT_i-1,i]

[eqn: rm d_i-1.i = max atop{m=2,M} left{ 0, sum from k=2 to M t_i-1,k - sum from k=1 to M t_i,k right}]

[eqn: rm SHT_i-1,i =max left{ left[ sum from j=2 to BN Maxdev_i-1,j + sum from j=1 to BN-1 Mindev _i,j right] -idle_i-1,i ,0right}]

[eqn: rm idle_i-1,i = min atop {j=2,M}left{C_i-1,j+1 -C_ij right}]

② Optimal shift time approach

Worst case approach에서 makespan의 증가에 대한 고려없이 batch failure 만을 고려하였으나, 다음과 같이 makespan의 증가에 의한 비용의 증가를 고려한 목적함수를 설정할 경우 최적화 모델링이 가능하다.

[eqn: rm Cost = max left{- C_MS cdot SHT cdot {Delta MS}over {Delta SHT} -C_BF cdot left(Error%~at~SHT right) right}]

여기서 CMS : Makespan의 감소에 따른 Cost Factor (｀/시간)

CBF : 조업실패에 따른 Cost Factor (｀/회)

Error % : 조업실패에 대한 확률적 기대값 (회/시간)

위의 최적화 모델에서 조업실패에 대한 확률적 기대값을 통계적인 방법으로 나타낼 경우, 최종적인 최적화 모델은 다음과 같다.

목적함수(Max):

[eqn: rm left{ C_MS cdot SHT-C_OF cdot left(int from -inf to SHT 1 over {root 2cdotpi Sigma } cdot e^{- 1 over 2 {left{ x-mu right}^2}over Sigma^2} right) right}]

제약조건:

[eqn: rm0<= SHT <=WSHT]

3. 변형된 ZW,NIS 공정의 동적 생산계획

실제 회분식 공정이 적용되는 산업에서는 엄격한 ZW공정만을 사용하는 경우보다는 일부분에서 ZW공정을 가지는 경우이거나(변형된 ZW공정) NIS공정에서 ZW를 가지는 형태(변형된 NIS공정)를 보이게 된다.

① 변형된 ZW 공정의 동적 생산계획

ZW형태의 공정에서 일부 공정이 NIS와 같이 Internal waiting time(IWT)을 가지는 것을 Soft Constraint라고 정의할 경우 다음과 같은 수학적 모델링이 가능하다.

[eqn: rm DC_i,j = DS_i-1,i +sum from j=1 to M left{Dt_i,j +SC_i,j right}]

[eqn: rm DS_i-1,i = DC_i-1,1 +Nd_i-1,i +SHT_i-1,i]

[eqn: rm SC_i,j = Min left[ Max left{ DC_i,j -DC_i-1,j+1 ,0 right}, SC_i,j,UD right]]

여기서:	SCi,j,UD : 공정에서 사용 가능한 최대한의 Soft Constraint

(Maximum Soft Constraint)

SCi,j : 계산에의해서 결정되는 Soft Constraint 사용시간

Dt : 실제공정에서 사용되는 조업시간

DC : 실제공정에서의 조업완료시간

Nd : Norminal Condition에서 결정된 Delay Time

② 변형된 NIS공정의 동적 생산계획

NIS공정은 자체공정이 가지는 유연성으로 동적생산계획이 매우 원활하게 진행될 수 있다. 그러나 공정 중간에 ZW와 같은 엄격한 제한이 적용될때는 많은 변화가 요구된다. 다음은 NIS-ZW-NIS형태의 복합공정의 수학적 모델링이다.

For Unit 1:	[eqn: rm C_i,j^' = S_i-1,i +t_i,j]

[eqn: rm S_i,j = C_i,1]

For Unit 2∼P-1	[eqn: rm C_i,j ^' = C_i,j-1 +t_i,j]

& M+1∼Q:	[eqn: rm C_i,j = C_i,j^' +WT_i,j]

[eqn: rm WT_i,j = max left{C_i-1,j+1 - C_i,j^' , 0 right}]

For Unit P:	[eqn: rm C_i,j^' = C_i,j-1 + t_i,j]

[eqn: rm C_i,j = C_i,j^' + WT_i,j]

[eqn: rm WT_i,j = max left{ C_i-1,j+1 + d_i,j - C_i,j^' , 0 right}]

For Unit P+1∼M:	[eqn: rm C_i,j = C_i,j-1 +t_i,j]

여기서:	[eqn: rm d_i,j = d_i,j^* +max left{ theta_i , 0 right}]

[eqn: rm d_i,j^* = max atop m=P+2,M left{ 0, left[ sum from k=P+2 to m t_i,k - sum from P+1 to m-1 t_j,k right] right}]

[eqn: rm theta_i = C_i-1,M+1 - left{ C_i-1,M + idle_i-1,i + t_i,M right}]

[eqn: rm idle _i,j = left{ d_i,j^* + sum from k=P+1 to M-1 right} - left{ sum from k=P+2 to M t_i,k right}]

4. 예제

표1과 같은 조업시간을 가지는 ZW공정에 대하여 각각의 동적생산계획을 적용시킬 경우 Batch Failure와 Makespan의 변화는 다음의 표 2와 같다.

표  Batch 공정에서의 각Unit에 대한 조업시간 과 표준편차

	장 치
제품	1		2		3		4
	평균	표준편차	평균	표준편차	평균	표준편차	평균	표준편차
1	10	0.5	20	1	5	0.25	30	1.5
2	15	0.75	8	0.4	12	0.6	10	0.5
3	20	1	7	0.35	9	0.45	5	0.25
4	13	0.65	7	0.35	17	0.85	10	0.5

표 2 ZW 공정에서 동적생산계획에 따른 batch failure 및 makespan의 변화

	동적 생산계획 없음	Worst case	Optimal case
Batch failure	50%	0%	7.8%
Makespan	112	116.5	114.9

Modified ZW공정에서 Soft constraint장치를 4번째 장치로 정의하고, 이때 사용가능한 IWT는 1로 둘 경우 표 3과 같은 결과를 얻을수 있다.

표 3. 변형된 ZW 공정에서 동적생산계획에 따른

batch failure 및 makespan의 변화

BN장치와 SC장치가 연속인 경우			BN장치와 SC장치가 떨어진 경우
			발생된 오차만 지연			오차발생시 모두 지연
BF	MS	C24	BF	MS	C24	BF	MS	C24
1.3 %	113.70	76.90	4.8 %	113.74	77.04	2.6 %	113.76	77.32
2.0 %	113.78	76.88	6.8 %	113.79	77.01	3.6 %	113.71	77.34
2.6 %	113.70	76.83	4.6 %	113.82	77.02	3.5 %	113.78	77.31
2.8 %	113.75	76.86	6.4 %	113.75	77.05	3.5 %	113.79	77.30
2.5 %	113.67	76.88	5.9 %	113.77	77.02	3.2 %	113.74	77.31

또한 Modified NIS공정에서 위의 표 3과 같은 공정의 연속으로 두고 조업할 때 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

표 4. 변형된 NIS 공정에서 동적생산계획에 따른

batch failure 및 makespan의 변화

	동적 생산계획 없음	Worst case	Optimal case
Batch failure	50.7%	0.6%	1.6%
Makespan	233.94	245.78	239
Shift time	0	5.5	4.47

5. 결과

본 연구에서는 제품의 저장시간에 대한 엄격한 제한이 가해지는 ZW공정에서 조업시간 불확실 인자가 고려될 경우 공정의 완전한 조업완료를 위한 Worst Case Shift Time을 개발하였고, 조업시간의 변화로 인하여 Batch Failure를 최소화하며, 또한 makespan의 증가로 인한 공정의 운용효율이 감소를 최소화 할 수 있는 Optimal Shift Time을 개발하였다.

또한 실제 공정과 유사한 공정의 형태의 도출을 위하여 Modified ZW공정과 Modified NIS공정을 정의하고, Modified ZW 공정에 대한 Bottleneck(BN)장치와 Soft Constraint (SC)장치의 위치에 따라 공정을 Simulation 하였다.

마지막으로 Modified NIS 공정에서의 On-line Scheduling 적용 장치를 정의하였고, 이에 대한 공정의 Simulation을 통하여 제시된 이론의 신뢰성을 확보하였다.

6. 감사

본 연구는 한국과학재단의 특정기초연구(과제번호 96-0502-08-013)연구비 지원에 의해 이루어 졌으며 지원해주신 한국과학재단에 감사드립니다.

참고문헌

1. B.J Cott, S. Macchietto, "Minimizing the effects of batch process variability    using online schedule modification", Comp. Chem. Eng, v11, pp 105-113,       (1989)

2. N. Ishii, M. Muraki, "A process-variability-based online schedulig system      in multiproduct batch process", Comp. Chem. Eng, v20, pp 217-234, (1996)

3. N.Ishii, M. Muraki, "A generic framework for an online scheduling and        control system in batch process management", Comp. Chem. Eng, v21, pp     1291-1310, (1997)