외란 전파를 고려한 열교환망 시스템의 구조적 제어성 평가

이동언, 김윤식, 윤인섭

서울대학교 응용화학부

Structural Controllability Evaluation of Heat Exchange Network System With Disturbance Propagation

Dongeon Lee, Yoonsik Kim, En Sup Yoon

School of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

원료비와 에너지 비용의 증가는 설계상의 최적화를 통한 공정의 효율을 높이는 것을 더욱 중요하게 만들고 있다. 그러나 이러한 설계에 있어서의 효율성 증대의 추구는 각 단위 장치들 사이의 동적인 상호작용을 크게 강화시키는 결과를 초래하였다. 공정에 설치된 제어 시스템은 이러한 공정의 변화와 강화된 동적 상호작용에 적절히 대처하여 공정이 성공적으로 운전될 수 있도록 하여야 한다. 하지만 여러 실제 공정의 사례를 통해서, 설계시 상정했던 조건에서는 최적의 경제성을 갖는 공정이 실제 운전 시에는 제어기에 많은 부담을 주며 심지어 제어 자체가 불가능 것으로 판명되기도 하여 막대한 재설계 비용이 드는 경우도 있는 것으로 알려졌다. 그리고 이러한 제어의 어려움의 정도는 제어기 자체의 성능뿐만 아니라 공정 자체의 특성에 많은 영향을 받는 것으로 알려졌다.

이와 같은 이유로 인하여 공정 자체의, 제어에 미치는 동적 특성을 설계 초기 단계에서부터 고려하려는 연구가 진행되었다. 제어성에 대해서는 연구자마다 약간씩 다른 정의를 내리고 있으나, 개념적으로는 제어 아래에 있는 시스템이 가질 수 있는, 제어 설정치를 잘 추적하고 외란의 전파를 효과적으로 차단하는 동적인 특성을 말한다.

이러한 공정 설계와 공정 제어의 통합의 문제는 전제 공정 공학 활동의 다른 단계와 다른 복잡성의 수준을 가지고 다루어질 수 있다. 이 중에서 공정 합성의 초기 단계에서 제어성의 적용은 무엇보다도 중요하다. 하지만 공정 설계의 초기 단계에는 이제까지 개발된 제어성 선별 기법이 요구하는 충분한 정보를 알 수 없기 때문에 적용에 많은 어려움이 있다. 따라서 공정 설계의 초기 단계에서는 주로 공정의 위상학적(혹은 구조적) 정보와 주관심 제어 출력 변수와 외란 변수에 대한 정보만을 이용하여 공정의 구조적인 제어성을 판별할 방법이 필요하다고 하겠다(Kim, 1997).

구조적 제어성

최근의 공정 설계의 한 방향은 단위 공정들 간의 열통합을 통한 에너지의 효율적 사용을 도모하려는 것이다. 만일 공정 내에 존재하는 각각의 흐름이 전혀 연결되지 않고 각각 독립적이라면, 한 흐름에 가해진 외란은 공정의 다른 부분으로 전파되지 않아 영향을 주지 않게 되며, 이러한 공정에서는 모든 외란들에 대한 제어가 가능하게 된다. 그러나, 이러한 공정은 경제적인 측면으로 볼 때 매우 불리하다. 결국은 공정 흐름 사이에서의 상호 연결은 거의 언제나 피할 수 없다.

이러한 복잡한 구조를 가지는 공정에서는 열통합 흐름을 포함해서 단위 공정들 간의 수많은 흐름들간에서 상호 연결이 일어나게 된다. 즉, 이는 공정의 일부에서 발생한 외란이 흐름을 따라서 하류 방향으로 넓은 범위로 전파될 수 있는 경로가 매우 많이 존재하게 됨을 의미한다. 이러한 경로를 통해 전파되는 외란에 의해서 공정의 제어성이 심각한 영향을 받는 경우가 있으므로 이에 대한 주의가 필요하다. 이것은 또한 공정의 제어성을 그 공정에서 외란이 전파되어 가는 경로 또는 구조를 조사함으로써 해석이 가능함을 의미하기도 한다. 즉 공정의 조업 조건, 장치의 크기, 제어기의 형태와 제어기 파라미터가 결정되기 전에 순수하게 공정의 구조 자체만으로 가지는 공정의 성질을 시스템에 외란이 들어왔을 때의 외란 전파 경로를 파악함으로써 공정 구조 자체의 제어성을 알아 볼 수 있다.

제어성의 여러 측면 중에서 공정의 구조에 따른 제어성을 구조적 제어성(structural controllability)이라고 한다. Lin은 구조적 제어성에 대해서 다음과 같이 정의하였다(Lin, 1974).

① 외란이 공정의 다른 부분으로 전파되지 않으면 공정은 구조적으로 완전히 제어 가능하다(completely controllable structurally).

② 원하지 않는 심한 외란이 전파되지 않는다면, 공정은 구조적으로 매우 제어 가능하다(highly controllable structurally).

이와 같은 구조적 제어성의 정의는 다음 면에서 편리하다. 먼저 이러한 구조적 제어성의 분석에서 정량적 제어성 분석에서 필요한 조업 조건, 공정 변수, 또는 수학적 모델이 필요하지 않다. 따라서 공정의 설계 초기 단계에서 완전한 공정의 구조나 모델을 얻기 어려울 때 유용하게 적용될 수 있다.

또한 구조적 제어성의 분석에서는 외란의 전파 경로만 대상으로 삼기 때문에 필요한 정보의 양이 작다. 즉 초기 단계에서의 제어성 분석은 최종적으로 정해진 공정의 구조가 제어 불가능하게 되는 상황을 미리 예방할 수 있으며, 여러 설계 대안 중에서 우선 순위를 미리 정할 수 있으므로 다음 설계 단계에서 고려해야 하는 설계 대안의 수를 줄일 수도 있다.

상대차수와 상대차수역수행렬

일반적인 화학공정은 다음과 같은 비선형 상태공간 식으로 표현이 가능하다.

(1)

(2)

이때 [eqn: f] 와 [eqn: g], [eqn: w]는 해석적 벡터장에 속해 있고 [eqn: h]는 해석적 스칼라장에 속해 있다. 그리고 [eqn: x]는 상태 벡터이고 [eqn: d], [eqn: u], [eqn: y]는 각각은 외란 변수, 조작 입력 변수, 출력 변수를 나타낸다. 그리고 이들 모두는 정상값을 뺀 편차변수이다.

이때에 외란 입력 [eqn: d_k]에 대한 출력 [eqn: y_i]의 상대 차수 [eqn: rho_{i k}]는 다음 식을 만족하는 최소의 정수로 정의된다(Daoutidis et al, 1992).

[eqn: L_w_kappa `L_f^{{rho_{i k}}-1} `h_i `(x) `!=` `0]	(3)

이를 만족하는 정수가 존재하지 않으면 [eqn: rho_{i k} = inf]이다.

여기서 표준 Lie 미분은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: L_f` h_i `(x) `=` sum from l=1 to n {partial h_i `(x)} over {partial x_l } f_l `(x)]	(4)

이 상대 차수 [eqn: rho_ik]가 입력 [eqn: d_k]에서의 계단 변화에 대한 출력 [eqn: y_i]의 응답이 얼마나 느린지를 나타내는 구조적인 지표임을 의미한다. 상대 차수가 클수록 응답은 더 느려진다.

입력 변화에 대한 출력 응답의 전반적인 특성은 시상수와 정상상태이득과도 관계가 있다. 시상수는 출력이 입력 변화에 대해서 얼마나 빠르게 조정되는지를 결정하고 정상 상태 이득은 많은 시간이 흐른 후의 출력값을 결정하게 된다. 그리하여 시상수는 입력 변수의 영향이 출력 변수에서 얼마나 빠르게 나타내는지의 정도를 나타내고, 정상상태이득은 그 정도를 나타낸다고 한다면 상대 차수는 그 영향이 얼마나 직접적인지(direct)를 나타낸다.

그리고 다음과 같이 상대차수역수행렬 혹은 외란 전파행렬을 정의한다.

(5)

이 행렬의 원소 [eqn: 1 over rho_ij]는 외란 입력 [eqn: d_j]가 출력 [eqn: y_i]에 미치는 영향의 직접성을 나타낸다. 그 값이 1일 경우는 그 영향이 직접적으로 되고 0이 될 때는 이 외란 입력이 출력에 대하여 전혀 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.

각 외란 입력의 영향이 같다고 할 때 상대차수역수행렬의 한 i행의 평균은 출력 변수 [eqn: y_i]에 미치는 전체 외란의 평균적인 직접적인 정도를 나타낸다. 그리고 이 합은 영향을 미치는 외란의 수가 증가할수록 증가한다. 이들 값이 크다는 것은 이 특정 외란이 전체 공정에 많은 영향을 미친다는 것을 의미한다. 마찬가지로 이들 값이 작다는 것은 이 특정 외란이 전체 공정에 미치는 영향이 작아 무시해도 좋다는 것을 의미한다.

(6)

그러므로 모든 출력 변수에 대한 전체적인 영향의 계산은 다음과 같다.

(7)

따라서 이 [eqn: S_total]의 값이 높을수록 공정의 구조는 외란의 영향에 많이 영향을 받는다고 할 수 있다. 그리고 [eqn: S_total]의 값이 낮을수록 공정의 구조는 외란의 영향에 적게 영향을 받는다고 할 수 있다. 즉, [eqn: S_total]의 값이 높을수록 공정은 구조적 제어성 측면에서 좋지 않고 [eqn: S_total]의 값이 낮을수록 구조적 측면에서 우수하다고 할 수 있다.

사례연구

최근에 Yang은 HEN에 대한 외란전파모델을 유도하고 다음과 같이 5개의 열교환망의 대안 구조에 대한 외란의 영향을 평가하였다(Yang, 1999).

(a) A	(b) B

(c) C	(d) D

(e) E

Fig. 2. Alternative Designs

Hot stream H2와 cold steam C3의 출력 온도가 제어되는 변수이고 hot stream H1, H2와 cold stream C3에서 입력 온도와 입력 유량에서 외란이 발생한다고 할 때 제안된 구조적 제어성 척도를 계산한 결과는 Table 1.과 같다. 이를 통하여 A와 B가 상대적인 구조적 제어성이 우수하고 다음으로 C 그리고 D와 E는 구조적으로 열등하다고 할 수 있다.

이러한 결과는 공정의 보다 구체적인 파라미터 정보와 외란전파모델의 유도를 필요로 하는 Yang의 결과와 일치한다.

Table 1. [eqn: S_total] of Reciprocal Relative Order Matrix

	A	B	C	D	E
[eqn: S_total]	4.0420	4.1500	5.0660	5.5327	5.5327

감사의 글

본 연구가 교육부의 BK21 지원 사업과 한국과학기술재단의 국가지정연구실 사업의 지원으로 이루어진 것에 대하여 감사를 드립니다.

참고문헌

1. 김윤식, 석사학위논문, 서울대학교 (1997).

2. Lin C.-T., IEEE Transactions on Automatic Control, AC-19(3), 20 (1974).

3. P. Daoutidis and C. Kravaris, Chemical Engineering Science, 47(5), 1091(1992).

4. Y. Yang, Ph. D. Dissertation, Wayne State University (1999).