묽은 비휘발성 용액으로 포화된 다공성 물질의

건조에 대한 선형 안정성 해석

이 재성, 김 효, 김 덕찬

서울 시립 대학교  화학공학과

The Linear Stability for Drying of A Capillary Porous Body

Wetted by A Non-Volatile Dilute Binary Solution

Lee Jae Sung, Kim Hyo, and Kim Dok Chan

Department of Chemical Eng., Seoul City Univ., Seoul, 130-743, Korea

서론

건조는 열과 물질이 어떤 매질 내에서 동시에 전달되는 복잡한 공정으로서 해석하기가 매우 어렵기 때문에 대부분 실험에 의한 해석에 의존하여 왔다. 그러나, Luikov와 Whitaker의 건조이론으로 여러가지 모델에 대한 시도가 이루어져 오면서, 건조 현상의 안정성에 대한 해석이 필요하게 되었다. 본 연구는 Wollkind와 Segel[3]에 의한 응고의 선형안정성해석을 건조과정에 적용시켜 얻어낸 결과와 Mullin과 Sekerka[2]의 해석방법에 의한 결과와의 비교[1]를 통해 소량의 비휘발성물질을 포함한 건조현상에 대한 기본적인 이해를 돕고자 하는데 있다. 모델에 대한 가정은 다음과 같다. 열이 전달됨에 따라 마른 영역과 젖은 영역으로 분리되는데, 각 영역에서의 유체의 흐름은 Darcy의 법칙에 의해 영향을 받게되나, 이 영향을 Luikov[4]의 방법대로 열역학적인 물성과 전달계수속에 포함시켜 겉보기 값(effective value)을 취하면 일반적인 열과 물질전달 방정식으로 표현된다. 각 영역에서 대류보다는 전도에 의한 전달이 지배적이며, 계면에서 기-액간의 평형이 유지되고, 증발에 의해 생긴 증기의 매질 내부에서의 압력차는 무시한다. 즉, 공극이 상당히 커서 증기가 과열이 되는 현상은 일어나지 않는다.

본론

수학적인 모델로써 (x,z) 평면의 매질을 생각해 보자(Fig 1.). 건조가 진행됨에 따라 용질의 농도가 변화되고 따라서 초기에 평평한 형태의 계면은 변형이 되면서 [eqn: (x,t)]의 함수로 결정된다. 즉, [eqn: z = Vt + phi(x,t)], 여기서  [eqn: V]는 계면의 평균속도를 나타내고, [eqn: phi]는 교란된 계면형태를 나타낸다. 이 계면에서 젖은 영역을 향하는 수직한 벡터를 [eqn: vec n]이라하면, [eqn: vec n] 과 계면의 속도 [eqn: v(x,t)]는 다음과 같이 표현된다.

[eqn: vec n`=`(`-phi_x `,`1`)``(`1`+`phi_x ^2 `)^{-1/2}] ,	(1.1)

[eqn: v(x`,t`)`=`(`V`+`phi_t` )``(`1`+`phi_x ^2` )^{-1/2}].	(1.2)

젖은 영역([eqn: z > Vt + phi(x,t)])에서의 지배방정식은

[eqn: [partialT_A /PARTIALt ](x,z,t)```=```alpha_A TRIANGLED ^2 T_A ```+```{V }( {PARTIALT_A / PARTIALz })],	(2.1)

[eqn: [partialC_A /PARTIALt ](x,z,t)```=```D_c TRIANGLED ^2 C_A ```+```{V }( {PARTIALC_A / PARTIALz })].	(2.2)

마른 영역([eqn: z < Vt + phi(x,t)])에서의 지배방정식은

[eqn: [partialT_B /PARTIALt ](x,z,t)```=```alpha_B TRIANGLED ^2 T_B ```+```{V }( {PARTIALT_B / PARTIALz })],	(2.3)

[eqn: [partialU /PARTIALt ](x,z,t)```=```D_u TRIANGLED ^2 U ```+```{V }( {PARTIALU / PARTIALz })].	(2.4)

여기에서 [eqn: T]는 온도, [eqn: C]는 용질의 농도,[eqn: U]는 증기의 농도(mass content),[eqn: alpha]는 열확산도, [eqn: D]는 물질확산계수,[eqn: del^2]은 [eqn: (x,z)]의 Laplacian 연산자,[eqn: t]는 시간을 나타낸다. 하첨자[eqn: A]와[eqn: B]는 각각 젖은 영역과 마른 영역을 나타내며, [eqn: C]는 용질, [eqn: U]는 증기를 나타내고, 이후로 [eqn: phi]는 계면을 나타낸다. 계면에서의 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: T_A ``=``T_B ``=``T_phi ``` ,``` C_A ``=``C_phi ``` ,`` U`` =`` U_phi] ,	(2.5)

[eqn: T_phi ~~=~~m C_phi ``+``T_BP ~+~ T_BP ~GAMMA ~K_phi `` ,``K_phi``=``phi_xx /(1+phi_x ^2 )^3/2],	(2.6)

[eqn: v(x,t) ~~&=~~ 1 OVER {rho _o U_phi L (1- epsilon^o ) } ~~left(~k_B partialT_B OVER partialn ~~-~~k_A partialT_A over partialn ~~right) ,# &=~~ D_C OVER {c_phi (K-1)}~~left(partialC OVER PARTIALn right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2,7)# ~~&=~~ D_U OVER {U_phi }~~left(partialU OVER PARTIALn right)~=~ J OVER rho_o ``= 1 OVER rho_o ``LEFT({alpha^v rho^v L } over T_S ^3/2 right)left( M_w over {2 pi R_g }right) (T_phi `-T_S ).]      여기에서 [eqn: m]은 기-액 상평형에서의 농도에 따른 온도값의 기울기, [eqn: K_phi]는 곡률, [eqn: rho_o]는 완전건조된 매질의 밀도, [eqn: epsilon ^o]는 상전환계수, [eqn: GAMMA]는 칼럼상수,[eqn: K]는 용질의 분배계수,[eqn: T_BP]는 끊는점, [eqn: L]은 증발잠열,[eqn: alpha^v]는 accommodation계수, [eqn: T_S]는 포화온도, [eqn: rho^v] 는 기체의 밀도,[eqn: R_g]는 기체상수, [eqn: M_w] 는 기체의 분자량을 나타내며, [eqn: J]는 속도론에서 유도된 mass flux이다.

다음의 무차원 수를 도입하자.

[eqn: &C_A ^* = C_A / C_phi ```,T_A ^* = T_A / T_BP ```,T_B ^* = T_B / T_BP ```,U^* = U / U_phi ```,t^* = t/(D_c /V^2 )```,## &(x^* ,z^* )``=``(x,z)/(D_c /V)```, epsilon = delta/(D_c /V)```,phi^* = phi/delta ```,n = k_B /k_A ```,~~~~~~(2.8)## & xi _A = alpha_A / D_c ```,xi _B = alpha_B / D_c ```,xi _U = D_u / D_c ```,M = m C_phi / T_BP ```, gamma = GAMMA/(D_c V)```,## &J_1 = {T_BP }over {rho_o U_phi V } LEFT({alpha^v rho^v L } over T_S ^3/2 right)left( M_w over {2 pi R_g }right)```,``T_S ^* = T_S / T_BP ```, delta = max vert phi(x,t) vert~.~][eqn: xi_A ``,xi_B ``>>`` O(1)] (대부분의 건조공정)이라는 가정을 적용하면, 식(2.1)-(2.7)은 다음과 같이 정리된다.

[eqn: TRIANGLED ^*2 T_A ^* ``=``0],	(3.1)

[eqn: partialC_A ^* /PARTIALt^* ```=``` TRIANGLED ^*2 C_A ^*```+``` {PARTIALC_A ^* / PARTIALz^* }] ,	(3.2)

[eqn: TRIANGLED ^*2 T_B ^* ``=``0] ,	(3.3)

[eqn: partialU ^* /PARTIALt^* ```=``xi_U ```` TRIANGLED ^*2 U ^*```+``` {PARTIALU ^* / PARTIALz^* }].	(3.4)

그리고 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: T_A ^*``=``T_B ^*``` ,``` C_A ^*``=``1 ``` ,`` U^*`` =`` 1] ,	(3.5)

[eqn: T_A ^* ~=~M C_A ^* ``+``1 ~+~ gamma~ epsilon ``phi_xx ^* ``(1+ epsilon^2 phi_x ^2 )^-3/2] ,	(3.6)

[eqn: n partialT_B^* OVER partialz^* ~- ~partialT_A ^* over partialz^* - epsilon phi_x ``left( n partialT_B^* OVER partialx^* ~- ~partialT_A ^* over partialx^* right) ```=```0] ,	(3.7)

[eqn: partialC_A^* OVER partialz^* - epsilon phi_x `` partialC_A^* OVER partialx^* ~=~(`K`-`1`)`C_A ^*` (`1`+` epsilon phi_t `)] ,	(3.8)

[eqn: xi_U ``left( partialU^* OVER partialz^* - epsilon phi_x `` partialU^* OVER partialx^* RIGHT) ~=~J_1 ``(T_A ^* ``-``T_S ^* ``)].	(3.9)

이제 계의 안정성을 해석하기 위해서 다음의 형태를 취했다(이하 * 표시 생략).

[eqn: bmatrix{C_A (x,z,t `; epsilon) # T_A (x,z,t `; epsilon) # T_B (x,z,t `; epsilon) # U(x,z,t `; epsilon) # epsilon phi (x,t `; epsilon) } ~~=~~bmatrix{C_AO # T_AO # T_BO # U_O # 0 }~~+~~epsilon bmatrix{ C_A1 (z) # T_A1 (z) # T_B1 (z) # U_1 (z) # phi_1 } cos wx ``exp(a_0 t)],	(4.1)

여기서 [eqn: w]는 파동수를 나타내고,[eqn: a_o] 는 성장속도를 나타내며 eigenvalue값을 취한다.

[eqn: O( epsilon ^0 )]

[eqn: T_Ao (z) ``=``1``+``M ``+`` Gz]	,	(4.2)

[eqn: C_Ao (z) ``=``1``+``(K-1)``(1-exp(-z))] ,	(4.3)

[eqn: T_Bo (z) ``=``1``+``M ``+`` Gn^-1 z] ,	(4.4)

[eqn: U_o (z) ``=``1``+``J_1 (1+M-J_2 )(1-exp(-xi_u z))/xi_u ^2]	,	(4.5)

여기서 [eqn: G]는 계면에서 젖은영역의 온도기울기를 나타낸다.

[eqn: O( epsilon ^1 )]

[eqn: T_A1 (z)``=``- G(n-1) over (n+1) phi_1 exp(-m_1 z )] ,	(4.6)

[eqn: C_A1 (z) ``=``( S - beta w^2 )(1-K) phi_1 exp(-m_2 z)] ,	(4.7)

[eqn: T_B1 (z)``=`` G(n-1) over n(n+1) phi_1 exp(-m_3 z )] ,	(4.8)

[eqn: U_1 (z) ``=``left(J_1 (1+M-J_2 ) + {2J_1 G } OVER xi_u phi_1 right)exp(-m_4 z)] ,	(4.9)

여기서

[eqn: m_1 = vertw vert], [eqn: m_2 = 1/2 + sqrt{1/4+w^2 +a_o }] , [eqn: m_3 = - vert w vert], [eqn: beta = gamma/M(K-1)] ,

[eqn: m_4 = 1/2xi_u - sqrt{1/4xi_u ^2 + w^2 + a_o /xi_u }]  , [eqn: S = 1 - 2G/(1+n)M(K-1)].

위의 계수를 결정해 나가는 과정에서 성장속도[eqn: a_o]에 대한 관계식은 다음과 같다.

[eqn: a_o &= left[ G(n-1) over {M(K-1)(n+1)} + 1 - {w^2 gamma} over M(K-1) - G over M(K-1) right] g(w^2 ,a_o )-K ## &=(S-beta w^2 )g(w^2 ,a_o ) - K```````,]     (5.1)

[eqn: g(w^2 ,a_o ) = m_2 (w^2 ,a_o ) + K-1 = K - 1/2 + sqrt{1/4 + w^2 + a_o }]	.	(5.2)

이제 [eqn: a_o]를 0으로 놓으면 Fig 2.와 같은 neutral stability curve를 얻는다.

결론

본 연구의 해석결과로 얻은 계의 안정,불안정을 나타내는 영역은 Fig 2.와 같으며, 점선은 [eqn: w^2]이 무한대로 갈 때를 나타낸다. 안정화 될 조건은 그림의 아래쪽 값을 가질 경우로서 젖은 영역의 기울기[eqn: (G)]가 작고, 용질의 기울기[eqn: (M)]가 클수록, 계면에 용질의 농도가 적을수록 계는 안정화된다. 이 결과는 앞선 방법[1]에 의한 결과인,[eqn: dot delta /delta]의 값이 -값을 갖기 위해서는 계면에서의 온도의 기울기 보다 용질의 기울기가 더 커야 한다는 결과와 일치된다.

참고문헌

[1] 이재성,김효,김덕찬., 제4회 한-일 분리기술 심포지엄 (Submitted), (1996)

[2] W.W.Mullin and R.F.Sekerka, Journal of Physics, 35, 444-451(1964)

[3] D.J.Wollkind and L.A.Segel, Phil.Trans.Roy.Soc.London A268, 351-380(1970)

[4] A.V.Luikov, Int.J.Heat Mass Transfer, 18, 1-14(1975)