회전막 여과에서의 케이크 저항에 관한 모델링

박원철, 김현우, 최창균, 박진용*, 김재진**

서울대학교 공과대학 화학공학과

한림대학교 환경학과*

한국과학기술연구원 고분자 연구부**

Modelling of Cake Resistance in Rotating Membrane Filtration

W. C. Park, H. W. Kim, C. K. Choi, J. Y. Park*, J. J. Kim**

Department of Chemical Engineering, Seoul National University

Department of Environmental Science, Hallym University*

Division of Polymer Science and Technology, KIST**

서론

막을 이용한 고-액 분리공정에서 발생하는 가장 큰 문제점의 하나는 여과가 진행됨에 따라 입자가 막의 표면에 부착되어 생기는 케이크층이 여과선속을 저하시키는 것인데 이는 막 분리공정의 경제성을 좌우하는 중요한 인자가 된다.

본 연구에서는 매우 안정된 유동의 하나로서 막 표면의 전단력을 향상시켜 케이크층의 형성을 억제하는 데에 효과가 있다고 알려진 Taylor와류를 응용한 회전막 여과기를 사용하여 여러 가지 크기의 입자에 대한 여과실험을 수행함으로써 이러한 유동이 케이크의 형성에 미치는 영향을 살펴보았다. 또한 여과선속에 영향을 미치는 여러 매개인자들을 포함하는 새로운 모델식을 제안하고 실험결과와 비교해봄으로써 그 타당성을 살펴보았다.

이론

일반적으로 케이크의 형성과정은 다음의 간단한 관계식으로 표현할 수 있다.

[eqn: rm {d`M}_c over{d`t} ~=~ {dot M}_cd ~-~ {dot M}_cr]                          (1)    윗 식의 좌변은 케이크의 순수 형성속도를 나타내며,[eqn: rm M_c]는 단위면적당 케이크의 질량,[eqn: rm {dot M}_cd]는 입자의 퇴적속도,[eqn: rm {dot M}_cr]는 입자의 제거속도를 나타낸다.

입자의 퇴적속도[eqn: rm {dot M}_cd]는 벌크 농도에 비례하므로 다음과 같이 표현된다.

[eqn: rm]              [eqn: rm {dot M}_cd over C_o ~=~ k_d]                                       (2)

여기서 Co는 벌크농도이며 kd는 퇴적계수이다. 퇴적계수 kd는 두 성분으로 이루어져 있는 데 하나는 입자부착 영역에서의 Brown성 확산이며 다른 하나는 입자부착 영역으로의 유체운동이다. 본 연구에서는 이러한 개념과 유사하게 퇴적계수 kd에 대한 다음의 식을 제안하였다.

[eqn: rm k_d ~ =~ {1} over {{1} over k_m ~+~{1} over {k_a}}]                            (3)

km은 입자의 전달계수이며 ka는 입자의 부착계수로서 막 표면에 도달한 입자가 표면에 부착되어 케이크 층을 형성하는 것을 나타낸다.

한편 본 연구의 계에서는 막을 향한 입자의 선속을 여과흐름으로 인해 막에 수직방향으로 일어나는 전달과 막의 회전으로 인한 전단력에 의한 전달의 합으로 볼 수 있으므로 입자의 전달계수 km은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: rm k_m ~=~ k_1 ~J ~+~ k_2~ tau_omegai^n]                          (4)

여기서 k1, k2는 실험에 의해 결정되는 상수이며 [eqn: rm tau_omegai]는 막 표면에 작용하는 전단력이다. 지수 n은 잘 발달된 난류흐름에서의 물질전달 계에서는 0.8이 제안되기도 하나 본 연구에서는 Epstein[1]에 의해 제안된 바와 같이 0.5를 사용하였다.

본 연구에서 고정된 실험조건을 제외하면 막 표면에서 입자의 부착을 결정하는 가장 중요한 인자는 막표면에서의 전단력[eqn: rm tau_omegai]일 것이다. 또한 일반적으로 막 표면에서의 입자의 부착확률은 막 표면에서의 전단력[eqn: rm tau_omegai]에 반비례하는 것으로 알려져 있으므로 이를 고려하면 입자의 부착계수 ka는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: rm k_a ~= k_3~ /`` tau_omegai]                                 (5)

따라서 (3)∼(5)식을 통해 입자의 퇴적계수 kd에 대한 다음의 식을 얻을 수 있다.

[eqn: rm k_d &~=~{1} over {{1} over{k_1 ```J ~+~ k_2 ```tau_omegai^0.5}~+~ {1} over {k_3 ``/`` tau_omegai}}]               (6)

단위면적당 케이크의 질량[eqn: rm M_c` =~ rho_d ``x_f ~=~k`R_c]의 관계를 가지는데 본 연구에서는 물질전달 구조가 달라지는 데에 따라 입자제거속도에 미치는 전단력의 영향을 고려하기 위해 다음의 형태로 입자의 제거속도에 관한 식을 제안하였다.

[eqn: rm{ dotM}_cr ~=~ k_4 ```tau_omegai^m ```R_c]                           (7)

여기서 □d는 퇴적물의 밀도, xf는 퇴적물의 두께, k는 비례상수이며 k4는 실험에 의해 결정되는 상수이다. 또한 Rc는 여과시간이 경과함에 따라 입자가 막 표면에 부착되어 생기는 케이크층의 저항을 의미하며 다음의 식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: rm J~=~ {DELTA` P ~-~ P^*} over {mu``(``R_c ~+~R_o ``)}]                        (8)

여기서 J는 단위 면적당 여과속도이며 □P는 여과기 내의 평균압력, P*는 막의 회전으로 인한 막 표면의 압력강하, □는 유체의 점도, Ro는 막 기공내의 오염을 고려한 막의 초기저항이다.

(1)∼(7)식을 통해 본 연구에서 사용된 계에 대하여 여과시간이 경과함에 따라 형성되는 케이크의 저항을 예측하기 위하여 제안된 모델식은 다음과 같다.

[eqn: rm {d`R_c} over {d`t} ~=~ {C_o} over {{1} over{k_1 ~J ~+~ k_2 ```tau_omegai^0.5}~+~ {1} over {k_3 ``/`` tau_omegai}} ~-~ k_4 `` tau_omegai^m ``R_c]         (9)

한편 본 실험과 유사한 계에 대하여 Park 등[2]은 실리카 슬러리를 대상으로한 일련의 여과실험을 통하여 막 표면에서의 전단력이 케이크 층의 저항에 미치는 영향을 여러 가지 모델식을 대상으로 검증하여보고 저전단력과 고전단력 영역으로 나눈 입자전달모델로부터 새로운 여과모델식을 도출한 바 있다.

실험

본 연구에서 사용한 회전막 여과기가 Fig. 1에 나타나 있다. 여과기의 내부원통으로 사용된 Millipore 회사의 MF 정밀여과기는 굴곡기공을 가지며 지지층이 없는 대칭막이다. 이 정밀여과기의 상단부를 모터와 연결하여 회전하게 하였으며, 내부원통의 반경에 대한 동심원통 사이의 간격의 비 d/ri가 각각 0.15, 0.44, 0.73인 3개의 아크릴 원통을 제작하여 고정된 외부원통으로 사용하였다.

시료로는 일본 SEKISUI사 제품인 MB20X-5, MBX-12, MBX-20, MBX-50을 순수한 물과 혼합한 슬러리 형태로 사용하였다. 평균밀도가 1.15 g/□인 이들 입자는 구형의 형태를 가지며 각각의 평균직경이 5, 12, 20, 50□이다.

순수한 물에 대한 막의 고유저항과 회전막 여과기의 구동력을 알아보기 위하여 증류수를 대상으로 여과기 내의 수위에 따른 압력변화와 이 때의 여과량을 측정하였다. 또한 막의 회전으로 인한 막 표면에서의 압력강하를 알아보기 위하여 회전속도를 변화시키면서 실험을 반복하였다. 다음으로 여과선속에 영향을 미치는 주요 매개인자들인 내부원통에서의 전단력, 슬러리 내의 고형 입자 농도, 고형 입자의 크기, d/ri 등에 대한 실험을 단계적으로 실시하였다.

결과 및 토론

시간에 따른 여과선속의 변화와 내부원통에 설치된 막의 회전으로 인한 막 표면에서의 압력강하를 측정한 본 연구의 실험결과로부터 (8)식을 이용하여 케이크층의 저항 Rc를 계산하고 이를 본 연구에서 제안한 모델식 (9)식으로 예측한 결과와 비교한 그림이 Fig. 2이다. Fig. 2의 결과는 평균입자크기가 50 □인 MBX-50을 대상으로 농도는 0.1 wt%, 내부원통과 외부원통의 간격에 대한 내부원통 반경의 비 d/ri =0.15 인 경우에 대해 실험한 결과이며,  실험온도는 7℃, 이 때 슬러리의 점도는 1.4241 cp이며 입자의 밀도는 1.15 g/□이다.

제안된 모델식에서 막이 회전하지 않는 경우에는 전단력 [eqn: rm tau_omegai] = 0, 막표면에서의 압력강하 P* = 0이므로 (9)식은 다음과 같이 간단한 형태가 된다.

[eqn: rm {d``R_c} over {d`t} &~= ~```````k_1``` C_o``` J ~=~{k_1``` C_o`` DELTA` P} over {mu``(`R_c ~+~R_o `)}]                   막이 회전하지 않는 경우의 실험결과에 대해 윗 식을 시간에 대해 적분하고 회귀분석법에 의해 기울기인 k1을 구해보면 k1 = 2.173 ×1011 (kg/sm3)이다. 이렇게 결정된 k1 값을 회전수가 다른 실험결과에 대해서도 동일하게 적용하였으며 k2 ,k3 ,k4 값은 전체 실험결과로부터 결정된 값들의 평균값을 취하여 사용하였다.

각 계수에 미치는 입자크기의 영향을 살펴보기 위하여 입자크기에 따른 계수의 평균값을 도시한 것이 Fig. 3과 Fig. 4이다. Fig. 3에 의하면 k1과 k4 값은 입자크기에 별다른 영향을 받지 않으며, Fig. 4에서 k3 값은 다음과 같이 입자크기에 따라 지수함수의 형태로 감소하는 경향이 나타나는 것을 알 수 있다.

k3 = 1.159 x 105(dp)-0.643

결과에서 알 수 있듯이 슬러리의 입자가 달라지는 경우에 대해서도 간단한 여과실험을 통해 계수를 결정함으로써 본 연구에서 제안한 모델식이 실험으로 결정되는 케이크층의 저항을 예측하는 데에 매우 효과적임을 알 수 있다.

참고문헌

1. Epstein, N., Particulate fouling of heat transfer surfaces: Mechanisms and      models, Fouling Science and Technology, 143-164 (1988)

2. Park, et, al., A Study on Dynamic Separation of Silica Slurry Using a         Rotating Membrane Filter; 1. Experiments and Filtrate Fluxes, J.              Memb. Sci., 97, 263-273 (1994).

Fig. 1. Experimental Apparatus.    Fig. 2. Comparison of measured and                                                          predicted  cake resistances                                                      (d/ri=0.15, CMBX-50 = 0.1 wt%).

Fig. 3. k1 and k4 value vs. particle size      Fig. 4. k3 value vs. particle size

(● : k1 value,  ▲ : k4 value,                  (d/ri=0.15, CMBX-50 = 0.1 wt%).

d/ri=0.15, CMBX-50 = 0.1 wt%).