경계층흐름을 보이는 수평 다공질 유체층에서의 와류 불안정성에 대한 관성과 경계면의 영향

이동호, 최창균

서울대학교 공과대학 화학공학과

Inertia and Bounding Surface Effects on Vortex Instability of a Horizontal Boundary Layer Flow in a Saturated Porous Medium

T.H. Lee and C.K. Choi

Department of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

충전탑에서의 물질전달, 석유의 채취, 원자로의 냉각, 대형 전산기의 냉각, 지열의 이용, 곡물의 저장 등에서의 열 또는 물질전달은 다공질층에서의 전달현상과 깊은 관련이 있다. 다공질층에서의 운동식은 유속이 느릴 때는 Darcy의 법칙을 따르지만 관성과 경계면의 영향이 커지면 Darcy의 법칙에서 벗어나며 이러한 경우에 대해 여러 연구자들[1-3]이 안정성해석을 수행하였다. 이러한 관성과 경계면의 영향은 투과도나 공극률이 크거나 Prandtl 수가 클 때, 그리고 압력구배가 클 때 중요해지며, 경계층흐름의 선단과 가까운 부분에서 그 영향이 커진다. 본 연구에서는 전파이론을 적용해 경계층흐름을 보이는 수평 다공질 유체층에서 관성과 경계면의 영향을 고려하여 안정성해석을 수행하였다.

이론

본 연구에서는 Fig. 1과 같이 정상상태 경계층흐름을 보이는 계에서 밑면이 등온(Tw)으로 가열되는 계에 대해 고려하였다. 그리고, 다음과 같은 지배방정식을 사용하였다.

[eqn: rm TRIANGLED CDOT vec u `=`0]                              (1)

[eqn: rm {{ rho _r} over { epsilon } vec u CDOT TRIANGLED vec u } `=`-{ TRIANGLED p} +{rho vec g} + {{ mu _f} over { epsilon } TRIANGLED^2 vec u} - {{ mu _f} over {K } vec u} - {{ C_F rho _r} over { SQRT { K} } LEFT | vec u RIGHT | vec u}]      (2)

[eqn: rm vec u CDOT TRIANGLED T`=` TRIANGLED CDOT LEFT ( alpha _m TRIANGLED T RIGHT )]                      (3)

여기에서 사용한 운동식은 관성과 경계면의 영향을 모두 고려한 식이며, □은 공극률, CF는 관성계수이다. 우선 기본상태에 대한 지배방정식을 경계층 가정을 적용하고 다음과 같은 무차원화를 통하여 구하면 다음과 같다.

[eqn: rm LEFT ( { X} atop {Z } RIGHT ) `=` { 1} over {L } LEFT ( { x} atop {z ``Re_L ^{1/2} Pr^{1/2}} RIGHT )]                       (4)

[eqn: rm LEFT ( { U_0} atop {W_0 } RIGHT ) `=` { 1} over {u_ INF } LEFT ( {u_0} atop {w_0 ``Re_L ^{1/2} Pr^{1/2}} RIGHT )]                      (5)

[eqn: rm theta _0 `=` { T_0 -T_ INF } over {T_w -T_ INF }]                                 (6)

[eqn: rm eta `=` { z} over {x } Re_x ^{1/2} Pr^{1/2} `=` { Z} over {SQRT{X}}]                        (7)

[eqn: rm D^3 f`=`- { f``D^2 f} over {2Pr } + { epsilon ( Df-1)} over {Da^* } +{ epsilon `Fr`( (Df)^2 -1)} over {Da^* }]          (8)

[eqn: rm D^2 theta _0 `=`- { f ```D theta _0} over {2 }]                          (9)

여기에서 U0, W0는 x, z방향 무차원속도이며, f, □0는 무차원 흐름함수와 온도이다. 그리고 L은 x방향 길이차원, □는 열경계층깊이에 기준한 유사변수이며, Fr, Da*는 Forchheimer 수, Darcy 수이며 다음과 같이 정의된다.

[eqn: rm Fr`=`C_F Re_K `=` { C_F u_ INF SQRT { K} } over { nu _f }]                      (10)

[eqn: rm Da^* `=` { Da} over {X }],   [eqn: rm Da`=` { K} over {L^2 } Re_L Pr]                   (11)

그리고, 다음과 같은 경계조건을 만족한다.

[eqn: rm f(0)`=`Df(0)`=`0],  [eqn: rm Df( INF )`=`1]                   (12)

[eqn: rm theta _0 (0)`=`1] ,    [eqn: rm theta _0 ( INF )`=`0]                      (13)

미소의 교란에 대해 선형안정성이론과 Boussinesq가정, 경계층가정을 적용하고, 다음과 같은 무차원 변수를 도입한다.

[eqn: rm Y`=` { y} over {L } {Re_L}^1/2 Pr^1/2]                          (14)

[eqn: rm PMATRIX{{U_1}#{V_1}#{W_1}} `=` { 1} over {u_ INF } PMATRIX{{u_1}#{v_1 Re_L ^1/2 Pr^1/2}#{w_1 Re_L ^1/2 Pr^1/2}}]                     (15)

[eqn: rm theta _1 `=` { T_1} over {T_w -T_ INF } Ra]                          (16)

[eqn: rm Ra`=` { g `beta` epsilonDELTA T` L^3} over { alpha _m `nu _f } Re_L^-3/2 Pr^-3/2]                   (17)

전파이론을 사용하면 다음과 같은 안정성방정식을 얻을 수 있다.

[eqn: rm PMATRIX{{U_1}#{V_1}#{W_1}#{P_1}#{theta_1}} `=`PMATRIX{{X^3/2 ``u^* ( eta )}#{( SQRT { X}/a) ``v^* ( eta )}#{X ``w^* ( eta )}#{ SQRT { X} ``p^* ( eta )}#{theta^* ( eta )}} exp(i rm aY)]                (18)

[eqn: rm D^2 u^* `=`{a^*}^2 u^* + { 3`Df``u^*} over {2`Pr } - { eta `D^2 f``u^*} over {2`Pr } - { f``Du^*} over {2`Pr }]

[eqn: rm + { D^2 f``w^*} over {Pr } + { epsilon ``u^*} over {Da^* } + { epsilon ``Fr``Df``u^*} over {Da^*}]               (19)

[eqn: rm D^4 w^* `=`- { f``D^3 w^*} over {2`Pr } +2{a^*}^2 `D^2 w^* + { Dw^*} over {2`Pr } LEFT ({a^*}^2 f +D^2 f ``RIGHT )]

[eqn: rm - {{a^*}^2 w^* } over {Pr } LEFT ( {a^*}^2 Pr +Df + { eta } over {2 } D^2 f RIGHT ) +{a^*}^2 theta ^* + { eta } over {2 } D^4 u^* + { eta``` f``D^3 u^*} over {4`Pr }]

[eqn: rm - { D^2 u^*} over {2`Pr } LEFT ( eta {a^*}^2 Pr + { f} over {2 } RIGHT ) + { Du^*} over {4`Pr } LEFT ( 4{a^*}^2 Pr - eta `D^2 f RIGHT )]

[eqn: rm + { u^*} over {4`Pr } LEFT ( 3D^2 f +{a^*}^2 eta ^2`` D^2 f +{a^*}^2 eta`` Df -{a^*}^2 f RIGHT )]

[eqn: rm +{ epsilon } over { Da^*} LEFT ( D^2 w^* -{a^*}^2 w^* - { eta } over {2 } D^2 u^* +Du^* RIGHT )]

[eqn: rm + { epsilon `Fr} over {Da^* } LEFT ( Df``D^2 w^* +D^2 f``Dw^* -{a^*}^2 Df``w^* - { eta } over {2 } Df``D^2 u^*]

[eqn: rm +Df``Du^* - { eta } over {2 } D^2 f``Du^* + { 3} over {2 } D^2 f``u^* RIGHT )]                            (20)

[eqn: rm D^2 theta ^* `=`{a^*}^2 theta ^* - { 1} over { 2} f``D theta ^* +Ra^* D theta _0 LEFT ( w^* - { eta } over {2 } u^* RIGHT )]                    (21)

위의 기본상태와 교란상태에 대한 지배방정식에서 Pr=0의 경우 경계면의 영향이 무시되는 Forchheimer 식의 경우에 해당하며, Fr=0의 경우 관성의 영향이 무시되는 Brinkman 식의 경우에 해당된다. 그리고, Pr=Fr=0의 경우 Darcy 식의 경우에 해당하며, Da*□□의 경우 다공질층이 아닌 순수 유체층의 경우에 해당된다. 그리고, 여기에서 하첨자 1은 교란량을 나타내며, a*, Ra*는 무차원파수와 Rayleigh 수이다.

[eqn: rm a^*`=`a SQRT { X}] ,  [eqn: rm Ra^*`=`Ra ``X^3/2]                    (22)

그리고, 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: rm u^* `=`w^*`=`Dw^*`=` theta ^*`=`0]   for [eqn: rm eta `=`0,`&INF]            (23)

결과 및 토론

Fig. 2는 Da*/□=100, Fr=0.01일 때 Pr의 변화에 따른 안정성곡선이다. Pr이 작을 때 계가 더 안정한 것을 볼 수 있다. 이러한 결과는 본 실험실에서 순수 유체층에 대해 전파이론을 적용한 경향과 일치한다. Fig. 3은 Pr=0.1, Fr=0.01일 때 Da*/□의 변화에 따른 결과로서 Da*/□이 커질수록 더 불안정해진다. 이는 다공질층의 투과도가 커지면서 유동이 활발해지기 때문이다. Da*/□□□는 순수 유체층에 대한 결과이다. Fig. 4는 Da*/□=100, Pr=0.1일 때 Fr의 변화에 따른 결과이다. Fr이 커지면 계가 더 안정해지며 이는 관성의 영향이 커지기 때문이다.

참고문헌

1. Chang, W. J. and Jang, J. Y. : Int. J. Heat Mass Transfer, 32, 529(1989)

2. Chang, W. J. and Jang, J. Y. : Int. J. Heat Mass Transfer, 32, 541(1989)

3. Jang, J. Y., Lie, K. N. and Chen, J. L. : Int. J. Heat Mass Transfer, 38, 3305(1994)

Fig. 1. Schematic diagram of present study                  Fig. 2. Ra* vs. a* for various Pr

Fig. 3. Ra* vs. a* for various Da*/□                     Fig. 4. Ra* vs. a* for various Fr