다중경계-적응제어를 이용한 회분식 PMMA 중합 반응기 온도 제어 실험

김영중, 강신춘

한양대학교 화학공학과

Temperature Control Experiment of a Batch PMMA Polymerization Reactor using Multiple Boundary-Adaptive Control Algorithm

Young Joong Kim, Shin Choon Kang

Dept. of Chemical Eng., Hanyang Univ.

서론

PID 제어기는 그 강건성과 간결함으로 인해 모든 산업에서 다용도로 사용되는 가장 일반적인 제어기이다. 그러나 공정의 동특성이나 환경의 변화가 있을 때에는 그 때마다 조업자가 경험적으로 PID 파라미터들을 다시 tuning하여야 하는 단점이 있다. 반면, 1970년대부터 컴퓨터 하드웨어의 발전으로 인해 활발해진 적응제어는 공정의 동특성이나 외부 교란 변수의 변화에 따라 그 기능을 자체적으로 조절할 수 있다는 장점이 있지만 실제 공정에서 경제성을 평가하기 힘들고 현장의 조업자가 이해하기 힘들다는 단점이 있다. 따라서 PID 제어기를 사용하면서 그 파라미터를 적응제어 알고리즘을 통해 automatic tuning을 하면 보다 효율적인 제어를 할 수 있을 것이다.

회분식 반응기는 다양한 물질을 생산할 수 있어 산업현장에서 널리 사용되고 있지만 조작방법이 복잡하고 동특성이 매우 비선형이다. 또한 반응도중 고분자의 물성을 실시간으로 측정하는데는 많은 비용과 노력이 필요하다. 따라서 생성될 고분자의 물성을 미리 예측하여 조업조건을 결정하는 것이 일반적이다. 고분자의 물성은 개시제의 농도와 분자량분포에 큰 영향을 받는다. 개시제 농도나 분자량분포를 변화시키면 원하는 물성을 얻을 수 있다. 단중합 회분식 반응기의 경우, 일반적으로 개시제의 농도로 물성을 제어하기 힘들므로 분자량분포(Moreculer Weight Distribution)를 조절하여 원하는 물성을 갖는 고분자를 얻는다.

자유 라디칼 중합반응에서 MWD를 넓히고자 Takamatsu등이 제안한 방법은 순간 중합도와 분산도를 이용하여 원하는 물성을 가질 수 있도록 초기 반응조건과 제어 목적값으로 온도궤도를 계산하고 계산된 온도궤도를 반응기 온도가 추적할 수 있도록 하여 원하는 물성을 갖는 고분자를 얻는 것이다. 본 연구실에서는 이미 중합반응계의 수학적 모델에 근거하여 여러 반응조건하에서 원하는 물성을 갖는 고분자를 생성하기 위한 반응기 온도 궤도를 계산한 바 있다.

본 연구에서는 원하는 전환율, 수평균분자량, 분산도를 갖는 PMMA를 얻을 수 있도록 계산된 반응 온도 궤도를 추적하는 실험을 행하여 이로부터 얻은 고분자의 물성치와 수치모사한 결과를 비교,검토하였다. 온도 궤도를 추적하는데 있어다중경계-적응제어 알고리즘을 통해 제어기 파라미터를 갱신해 감으로써 예측 불가능한 외란이 있어도 안정적인 제어를 수행할 수 있게 하였다.

이론

회분식 중합 반응기는 본질적으로 비선형인데다 예측할 수 없는 변화가 생길 여지가 많기 때문에 일정한 파라미터를 갖는 제어기보다는 제어기 파라미터를 자동으로 조정할 수 있는 적응 제어 알고리즘을 사용함으로써 보다 안정적인 제어를 수행할 수 있다.

본 연구에서는 여러 적응 제어 알고리즘중 공정 파라미터를 추정하고 이를 이용하여 제어기 파라미터를 구해 나가는 자체-조정제어(Self-Tuning Regulator) 방법을 사용하였다.

출력 y(t)를 반응기의 온도라 하고, 조절 변수 u(t)를 냉각수 유량 조절을 위해 제어 밸브에 주는 디지탈 출력값으로 하면 공정을 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

[eqn: y(t) = {B(q^-1 )} over {A(q^-1 )} u(t-d) + e(t)]

여기에서,

[eqn: A(q^-1 ) = 1 + a_1 q^-1 + a_2 q^-2 + .~.~.# B(q^-1 ) = b_1 q^-1 + b_2 q^-2 + .~.~.~~~~# e(t) = white~ noise~~~~~~~~~~~~~~# d = time~de lay~~~~~~~~~~~~~~]

1. 다중경계 변환

보다 폭넓은 온도범위를 빠르게 제어하기 위해서 냉각수의 온도를 바꿔가는 다중경계 제어를 한다. 다중경계를 가지므로 예측되는 출력을 다음과 같이 표현할 수 있다.

예측되는 출력을 [eqn: hat y]이라 하면

[eqn: {hat y}^j (t) = {{B^j (q^-1 )} over {A^j (q^-1 ) }} u(t) = {b_1 ^j + b_2 ^j q^-1 + .~.~.} over { 1 + a_1 ^j q^-1 + a_2 ^j q^-2 + .~.~.} u(t)]

[eqn: j = 1, 2, . ~.~.]

[eqn: {hat y}^1 = f^1 (u)~~~y_low ^1 < y < y_high ^1# {hat y}^2 = f^2 (u)~~~y_low ^2 < y < y_high ^2# ~~~~~.~~~~~~~~~~~~~~.~~~~~# ~~~~~.~~~~~~~~~~~~~~.~~~~~#]

[eqn: {hat y}^j]가 현재의 온도범위 j의 경계치인 [eqn: y_low ^j]나 [eqn: y_high ^j]를 넘어갈 경우, 그림에서 보듯이[eqn: {hat y}^j-1]이나[eqn: {hat y}^j+1]로 이동하여 새로운 온도범위에서 제어를 시작한다.

Fig. Multiple Boundary

2. Recursive Least Square 알고리즘

실측치[eqn: y(t)]와[eqn: hat y]와의 차이를 계산상의 오차와 공정상의 외란에 대한 오차라고 할 때 [eqn: y(t) = hat y (t) + e(t)] 이므로, 출력 오차를 줄이기 위한 추정 criterion은

[eqn: SUM from { { k}=1} to t [ y(k) - hat y (k) ]^2]

을 최소화 하는 것이다. [eqn: hat y]는 모델로부터 계산되는 값이며 다음과 같이 regression type으로 나타낼 수 있다.

[eqn: hat y = varphi^T (t-1)hat theta]

여기에서,

[eqn: &varphi^T (t-1) = [ -hat y (t-1), -hat y (t-2),~.~. u(t-d-1), u(t-d-2),~.~.]# &theta = [ a_1 , a_2 , ~.~. b_1 , b_2 ,~.~.]]

이다. 현재 시간 t에서의 공정 파라미터는 다음과 같은 알고리즘으로부터 계산할 수 있다.

[eqn: hat theta (t) = hat theta (t-1) + {P(t-1) varphi (t-1) epsilon (t)} over { lambda + varphi^T (t-1) P(t-1) varphi (t-1) }~~~~~~~~# epsilon(t) = y(t) - varphi^T (t-1) hat theta (t-1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~# P(t) = 1overlambda [ P(t-1) - {P(t-1) varphi (t-1) varphi^T (t-1) P(t-1)} over { lambda + varphi^T (t-1) P(t-1) varphi (t-1) }]]

rounding error로 인하여 covariance 행렬 P(t)가 singular해지는 것을 방지하기 위해 P(t)를 upper triangular 행렬(U(t))과 diagonal 행렬(D(t))로 분해해서 갱신해 주는 Bierman U-D factorization 알고리즘을 이용하였다.

[eqn: P(t)& = U(t)D(t)U^T (t)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~# &= U(t-1)[D(t-1) - {g(t)g^T (t)} over L(t) ]U^T (t)/lambda]

여기에서

[eqn: f &= U^T (t-1)varphi(t)~~~~~~# g &= D(t-1)f~~~~~~~~~~~# L(t) &= lambda + f^T (t-1)g(t-1)# lambda &= f o r g e t ting~ factor~~~]

3. STR 알고리즘

중합반응공정을 지연시간을 갖는 2차 모델로 근사하여, indirect pole placement방식의 제어 방법을 사용하였다.

공정의 모델식이

[eqn: A(q)y(t) = B(q)u(t)] , [eqn: B over A = {b_1 q + b_2} over {q^2 + a_1 q + a_2 }]

이고, 원하는 응답이 다음과 같은 모델로 표현될 때,

[eqn: A_m (q) y(t) = B_m (q) u_c (t)] ,[eqn: B_m over A_m = {b_m1 q + b_m2} over {q^2 + a_m1 q + a_m2 }]

선형 제어기

[eqn: R u(t) = T u_c (t) - S y(t)]

는 다음과 같은 알고리즘으로 계산할 수 있다.

먼저 Am, Bm, A0이 주어지면, B가 안정한 zero를 가질 경우에는

[eqn: B^+ = (q + b_2 over b_1 )~,~B^- = b_1]

이고, B가 불안정한 zero를 가질 경우에는

[eqn: B^+ = 1 ~,~B^- = (b_1 q + b_2 )]

이다. 따라서 [eqn: B_m = B^- B_m ']으로부터 [eqn: B_m ']이 얻어진다.

특성 방정식(Diophantine 식) [eqn: AR' + B^- S = A_0 A_m]으로부터 R'와 S를 구할 수 있으며, [eqn: R=R'B^+ ~,~T=A_0 B_m ']로부터 R, T가 계산된다. 이를 이용해서 제어기의 파라미터를 갱신한다.

실험

회분식 PMMA 중합반응계는 자켓달린 반응기를 유리로 제작하였다. 2채널 A/D변환과 16채널 D/A변환을 할 수 있는 interface card를 이용하여 컴퓨터로 실험장치를 제어할 수 있도록 하였다. 보다 폭넓은 온도 범위(20℃-70℃)를 효율적으로 제어할 수 있게 하기 위해서 찬물과 더운물의 혼합비를 자동조절할 수 있는 3-way 밸브를 사용하여 다중온도범위를 갖는 냉각수를 제어 밸브를 통해 조절하였다. 반응기에 단량체와 용매를 채운후 반응기와 단량체에 남아있는 산소를 제거하기 위해 기체질소를 사용하여 30분동안 bubbling하였다. 개시제로는 AIBN을 사용하였다. 반응기온도를 초기 설정 온도(333.5K)로 올라가도록 제어한 후 개시제를 투입하는 동시에 반응기 온도가 미리 계산된 온도궤도를 추적할 수 있도록 제어 루프를 실행하였다. 반응동안 반응물의 물성치를 측정하기 위하여 매 60분마다 반응기에서 1ml만큼의 시료를 채취하여 단량체의 전환률을 측정하였으며 분자량과 중합도를 GPC로 측정하였다.

결과

온도궤도를 추적하는 제어기를 PID 및 STR로 구현하였다. 반응기의 비선형적 거동 때문에 PID보다는 STR제어기가 계산된 반응온도를 잘 추적하였다. 측정된 단량체의 전환율과 수평균분자량이 미리 계산된 모사값과 잘 일치함을 확인할 수 있었다.

참고문헌

1. K. J. Astrom, B. Wittenmark : Adaptive Control, 2nd ed., Addison-Wesley,    1995

2. P. E. Wellstead, M. B. Zarrop : Self-tuning Systems Control and Signal      Processing, JOHN WILEY & SONS, 1991

3. K. J. Astrom, T. Hagghund : Automatic Tuning of PID Controllers,          Instrument Society of America, 1988

4. K. J. Astrom, B. Wittenmark : Self-Tuning Controller Based on Pole-Zero    Placement, IEEE, Vol.127, No.3, pp.120-130, 1980

5. K. J. Astrom, B. Wittenmark : On Self-Tuning Regulators, Automatica,       Vol.9, pp.185-199, 1973

6. K. J. Astrom, B. Wittenmark : Practical Issues in the Implementation of      Self-Tuning Control, Automatica, Vol.20, pp.595-605, 1984

7. 남대우, 강신춘 : 공학석사 학위논문, 한양대학교, 1995