회분식 공정에서의 중간저장조 위치 결정모델

장현길, 이의수

동국대학교 화학공학과

Determination of intermediate storage tank locations

in multiproduct batch process

Hyunkil Jang, Euy Soo Lee

Dept. of Chemical Engineering, Dongguk University

서론

회분식 공정에서는 생산성의 향상과 공정운용의 효율성 증대를 위해 중간저장조를 사용한다. 일반적으로 UIS, FIS, NIS, ZW의 4가지 중간저장조 운용형태를 기준으로 하여 회분식 공정의 scheduling과 sequencing에 대한 연구가 많이 이루어져 왔다. 하지만 실제로 많은 회분식 공정은 투자비와 생산성의 양면에서 제한된 중간저장조를 최적의 형태로 사용해야 함에도 이에 대한 구체적인 연구가 이루어지지 않았다. 본 논문에서는 제한된 중간저장조를 사용하여 중간저장조의 위치가 회분식 공정에 미치는 영향을 연구하였으며 중간저장조 위치에 따른 최적의 최종조업 완료시간을 얻기 위한 수식화된 최적화 모델을 개발하였다.

우선 중간저장조가 쓰이지 않는 NIS, ZW형태의 운용방안을 기본으로 하여 제한적으로 중간저장조를 고려함으로써 얻어진 최적화 모델을 제시하였고,  이 모델의 검증을 위해 MILP 형태의 위치결정 모델식을 예제를 사용하여 GAMS로 해를 구하였다.

NIS 운용방안에서의 중간저장조 위치결정모델

NIS 중간저장조 운용방안은 중간저장조 대신에 각각의 회분식공정 자체에서 필요한 경우 제품을 holding하게 되는데 여기에 중간저장조를 삽입하게 되면 보다 향상된 최종조업 완료시간(makespan)을 얻을 수 있다.

이 모델에 대한 수식은 기존의 NIS 구조의 최종조업시간에 대한 제약조건에 위치변수 Zj를 도입하여 위치결정모델을 유도하였으며 변수 Zj는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: rm Z_j ~=~ LEFT { matrix{1,~"Unit j와 j+1 사이에 중간저장조가 있을 경우"# 0,~"그렇지 않을 경우"~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }]

모든 공정을 통하여 중간저장조가 parallel 하게 위치하지 않는다는 가정하고 중간저장조의 개수가 NI개라면 이는 변수 Zj의 전체공정에서의 합과 같고 식(1)과 같은 제약조건이 성립한다.

[eqn: rm sum from j=1 to M Z_j ="NI"]	(1)

또한 마지막 Unit의 경우 그 다음 Unit은 존재를 하지 않기 때문에 Zj에 대한  제약조건이 식(2)와 같다.

[eqn: rm Z_M =0]	(2)

회분식 공정에서 각 공정은 이전의 공정이 완전히 끝나야 진행이 되고 다중의 제품을 생산할 경우에는 제품의 생산순서에 따라 이전 제품의 공정의 끝나야 진행된다. 이와 더불어 중간저장조가 j와 j+1 장치 사이에 있으면 제품 i가 중간저장조에 저장되는 시간동안 j번째 장치의 i제품의 조업과 j+1번째 장치에서 i-2번째 제품의 조업이 동시에 이루어질 수 있으므로 이에 대한 제약조건은 아래 식들로 표현할 수 있다.

[eqn: rm C_ij - t_ij ge C_i(j-1)]	(3)

[eqn: rm C_ij - t_ij ge C_(i-1)j]	(4)

[eqn: rm C_ij - t_ij ge C_{(i-2)(j+1)} - Z_j ×SK]	(5)

[eqn: rm C_ij - t_ij ge C_{(i-3)(j+1)}]	(6)

여기서,

Cij : j장치에서 i제품의 조업완료시간

C0j, Ci0 : zero

tij : j장치에서 i제품의 processing time

Zj : j장치와 j+1 장치사이의 중간저장조 유무 (binary variable)

SK : 유한이 큰 임의의 수

식(5)의 parameter SK는 feasible영역의 확보를 위해 도입된 것으로 무한대로 갈수록 유리하지만, 일반적인 NIS 구조에서의 최종조업 완료시간을 기준으로 한다. Zj가 1이 되면 제약조건 (6)이 제한조건이 되고 Zj가 0이 되면 제약조건 (5)이 제한조건이 된다.

위의 NIS 중간저장조 위치결정모델은 최종조업 완료시간의 최소화를 목적하고 있으며 MILP 형태의 최적화 문제를 갖는다.

ZW 운용방안에서의 중간저장조 위치결정모델

ZW 운용방안 자체는 제품이 holding이 되지 않으므로 중간저장조의 의미가 없다. 그러나 부분적으로 ZW 구조를 벗어나는 경우를 생각하면 ZW 구조는 기존의 ZW constraint가 아닌 새로운 constraint가 적용된다. 이 모델을 바탕으로 중간저장조의 위치결정 모델이 결정된다.

ZW constraint으로 인해 NIS 모델에서 사용한 위치 변수 Zj는 제품의 종류를 고려할 수 있는 변수 Zij로 바뀐다. 변수 Zij는 다음과 같이 정의 한다.

[eqn: rm Z_ij ~=~ LEFT { matrix{1,~"Unit j와 j+1 사이에서 제품 i가 중간저장조를 사용할 경우"# 0,~"그렇지 않을 경우"~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }]

변수 Zij가 고려된 ZW 구조에서 중간저장조의 개수는 NIS 모델과 마찬가지로 변수 Zij의 합과 같다. 그러나 제한제품에 한정되어 중간저장조가 사용되므로 제약조건은 다음의 식과 같다.

[eqn: rm sum from i=1 to N sum from j=1 to M Z_ij ~=~"NI"]	(7)

[eqn: rm sum from j=1 to M Z_{a_{i}j} ~=~"NI"]	(8)

여기서, ai는 제한제품.

ZW은 기본적으로 한 제품에 대해 공정이 시작하면 끝날 때까지 멈추지 않는다. 그러나 제한제품을 고려하면 제한제품에 대해서만은 ZW의 equality constraint이 성립하지 않는다. 그러므로 집합 ai로 표시되는 제한제품에 대해서는 식(9)와 같은 제약조건이 성립하고 그외 제품에 대해서는 식(10)과 같은 제약조건이 성립한다.

[eqn: rm C_ij ge C_{i(j-1)} + t_ij]	(9)

[eqn: rm C_ij = C_{i(j-1)} + t_ij]	(단, j>1)	(10)

그리고, NIS 모델처럼 중간저장조가 j와 j+1 장치 사이에 있으면 제품 i가 중간저장조에 저장되는 시간동안 j번째 장치의 i제품의 조업과 j+1번째 장치에서 i-2번째 제품의 조업이 동시에 이루어질 수 있으나 equality constraint으로 인해 NIS 모델과는 다른 제약조건을 가진다. 즉, Zij 가 1이면 j+1 번째 장치에서의 i-2 제품의 processing time만큼을 중간저장조에 저장할 수 있다. 식(13)이 이를 설명하는 제약조건이다.

[eqn: rm C_1j = sum from k=1 to j t_1k]	(11)

[eqn: rm C_ij ge C_{(i-1)j} + t_ij]	(12)

[eqn: rm C_ij ge C_{(i-2)(j+1)} +t_ij -Z_{(i-1)j}×t_{(i-2)(j+1)}]	(13)

NIS 모델과 같이 ZW모델 또한 최종조업 완료시간의 최소화를 목적하고 있으며 MILP 형태의 최적화 문제를 갖는다.

예제

본 논문의 모델들에 대해서 일반적으로 고려되는 processing time을 기준으로 NIS와 ZW 위치결정모델에 적용하여 MILP 문제를 풀었다. 아래 표의 예제는 Pentium PC , DOS 환경에서 GAMS(OSL Solver)를 사용하여 최적해를 구하고 검증하였다.

Table 1. Processing time data for NIS example

	Unit
P r o d u c t		1	2	3	4	5
	1	10	20	5	20	14
	2	15	8	12	10	20
	3	20	7	9	15	15
	4	13	7	17	10	7
	5	4	15	10	20	9

Table 2. Processing time data for ZW example

	Unit
P r o d u c t		1	2	3	4	5
	1	10	20	5	20	14
	2	15	8	12	10	9
	3	20	7	9	15	15
	4	13	7	17	10	7
	5	4	15	10	20	9

Table 1. 예제에 대한 NIS모델의 GAMS 해는 최적의 위치 Unit 4 와 Unit 5사이에서 최종조업 완료시간 126을 가지며 순수한 NIS 구조의 최종조업 완료시간은 133으로 6만큼의 차이를 보인다. 이 경우 다른 위치에 중간저장조가 있는 상태의 최종조업 완료시간은 모두 133이라는 값을 가진다.

Table 2. 예제에 대한 ZW 모델의 경우 제한제품을 product 2로 하는 최적해는 중간저장조 위치가 Unit 4와 5 사이에 존재할 때 최종조업 완료시간 126이며 제한제품만 고려한 최종조업 완료시간은 129이다.

결론

중간저장조 위치결정 모델은 기존의 최적화 문제와 달리 중간저장조의 위치에 따라 생산계획이 어떻게 변하는지 볼 수 있으며, 또한 중간저장조의 운용효율을 높임으로써 생산비 절감의 효과도 얻을 수 있다. 그리고, 중간저장조를 여러개 사용하는 경우와 관련하여 중간저장조 위치결정 모델은 각각의 중간저장조가 서로 사용되는 시간이 다르다면 하나의 중간저장조를 각각 다른 시간에 공유함으로써 또 다른 운용효율의 증대도 생각할 수 있다.

위치결정 모델은 위치변수 도입하여 NIS와 ZW구조에 제한적으로 중간저장조를 고려함으로써 최적의 최종조업 완료시간을 얻을 수 있었다. NIS 모델은 SK parameter를 사용하여 제약조건의 신뢰성을 높였으며 ZW 모델은 equality contraint의 영향을 배제하기 위해 제한제품에 한해 중간저장조를 사용할 수 있다는 조건을 전제하여 중간저장조 위치결정 모델을 결정하였다. NIS 와 ZW 위치결정 모델 모두 binary variables과 불연속 변수의 recurrence relation에 의해 MILP 형태의 최적화 문제를 가지며 이 문제들은 예제에 보듯이 GAMS를 통해 그 해를 구하였고 Gantt Chart를 이용하여 검증하였다.

참고문헌

1. Minseok Kim, Jae Hak Jung, In-Beum Lee, Optimal scheduling of multiproduct

batch processes for various intermediate storage policies, Ind. Eng. Chem. Res.,

35, pp.4058-4066, 1996

2. Hong-Ming Ku, Iftekhar A. Karimi, Scheduling in serial multiproduct batch

processes with finite interstage storage : a mixed integer linear programming

formulation, Ind. Eng. Chem. Res., 27, pp. 1840-1848, 1988

3. Jae Hak Jung, Ho-Kyung Lee, Dae Ryook Yang, In-Beum Lee, Completion times

and optimal scheduling for serial multi-product processes with transfer and set-up

times in zero-wait policy, Computers chem. Engng., Vol. 18., No. 6., pp. 537-544,

1994

4. Hong-Ming Ku, D. Rajagopalan, I. A. Karimi, Scheduling in batch processes,

Chem. Engng Prog., 83, 35, 1987

5. G. V. Reklaitis, A. Ravindran, K. M. Ragsdell, Engineering Optimization, John

Wiley & Sons, Inc., pp. 468-480, 1983