알루미나-탄화티타늄 복합체 방전가공의 수치모사 연구

안영철, 정영습

경남대학교 화학공학과

Numerical Simulation of the Electro-discharge Machining Process for Alumina-Titanium Carbide Composite

Young-Cheol Ahn, Young-Seup Chung

Department of Chemical Engineering, Kyungnam University

서 론

세라믹 복합재료의 가공은 일반적으로 절삭, 연삭에 의한 기계적 가공이 주로 사용되고 있으며 특수가공방법으로 초음파가공, 방전가공, 레이저가공, 복합가공 등의 새로운 가공기술이 개발되어 시도되고 있다. 이들 중 방전가공(Electrical Discharge Machining ; EDM)은 가공속도가 빠르고 정밀가공과 복잡한 형상으로의 가공이 가능하다는 등 많은 장점이 있는 가공방법이다. 최근 방전가공의 유용성이 부각되면서 이에 대한 연구가 활발하게 수행되고 있고 그 중의 일부는 방전가공의 용융메카니즘을 연구하려는 차원에서 수행되는 이론적인 연구들이다[1-5]. 세라믹 복합체의 방전가공 공정을 정확하게 해석하기 위해서는 복수방전, 경계의 이동, 유전체와 주변으로의 열대류 및 열복사, 전극의 열용융 등에 대한 설명이 되어야 한다. 이에 본 연구는 실제 공정에 가까운 비정상상태로 방전가공 현상을 모델링하고 유한요소법(FEM)을 도입하여 해석을 수행하고자 한다.

수식 모델링

절연체에 전류가 흘렀을 때 방전되는 원리를 이용하는 방전가공법(EDM)은 전원공급이 이루어진 후 유도기를 거쳐 플라즈마가 형성되면 일정시간 방전이 일어나다가 전원공급이 중단되면서 휴지기에 들어가고, 이어 또다시 전원공급이 이루어지면서 앞의 과정이 계속적으로 반복되는 식으로 진행된다. 이와 같은 문제를 해석하기 위해서는 모델을 가장 간단하게 취하는 것이 필요한데, 여기에서는 방전불꽃 하나를 취하여 실제로 가공을 일으키는 방전과정에 대해서 적용하였다. 방전이 일어날 때 방전불꽃이 피가공물을 때리는 위치와 열량은 불규칙하게 변하는데 이들의 정확한 평가는 불가능하기 때문에 균일하게 분포된 열속을 갖는 하나의 원통형 불꽃을 가정하였고 방전에 의한 열은 불꽃을 중심으로 축대칭으로 분포하는 것으로 가정하였다. 즉, [eqn: partial T / partial theta = 0`]이므로 관심영역에 있어서 열수지 방정식은 다음과 같이 된다.

[eqn: partialT over partialt ~=~ alpha ~LEFT [ 1 over r partial over partialr LEFT ( r partialT over partialr RIGHT ) + {partial^2 T} over partialz^2 RIGHT ] `]                                (1)

여기서 [eqn: alpha`]는 열확산계수로서 [eqn: k / rho`C_p`]인데 [eqn: k`]는 재료의 열전도도, [eqn: rho`]는 밀도, 그리고[eqn: C_p`]는 열용량을 나타낸다. 한 개의 스파크에 의한 관심영역의 초기조건은 [eqn: T=T_0`]로서 가공 시작 때의 온도 [eqn: T_0`]는 상온이라고 가정하였다. 경계조건은 Fig. 1에 나타낸 것과 같이 불꽃으로부터[eqn: `]충분히 먼 영역에서 단열조건이 적용되고 중심축에서는 대칭조건이[eqn: `]적용된다. 그리고, 방전이 일어나는 영역에서는 열전도 속도와 방전불꽃에 의한 열속이[eqn: `]같고, 방전불꽃 밖의 영역에서는 열전도 속도와 열대류 속도가[eqn: `]같다.

위의 열수지 방정식에 대하여 갤러킨(Galerkin) 유한요소법을 적용하여 변분법(variational method)에 의한 약화된 형태(weak form)를 유도하면 다음과 같다.

[eqn: 0~= INT _{ OMEGA^e } ~LEFT [ v partialT over partialt + alpha partialv over partialr partialT over partialr + alpha partialv over partialz partialT over partialz RIGHT ]rdrdz- INT _{ GAMMA^e } vq_n ds`]            (2)

[eqn: q_n = r` LEFT ( alpha partialT over partialr n_r +alpha partialT over partialz n_z RIGHT )]                                        (3)

여기서, [eqn: OMEGA^e `]는 유한요소영역을, [eqn: GAMMA^e `]는 요소경계면을 나타낸다. [eqn: v`]는 모양함수로서 이중선형함수이고, [eqn: q_n`]은 요소경계면에 대하여 법선 방향으로의 열속이다. 변분법에 의한 방정식의 약화된 형태를 적용하기 위하여 주어진 영역을 Fig.1에서 도시한 바와 같이 사각형의 이중선형 유한요소로 나누었다. 계산의 정밀도와 경제성을 고려한 최적의 체눈으로 12×12의 불규칙 체눈을 선택하였다(안 등[5]).

종속변수 [eqn: T`]는 유한요소 안에서 노드점에서의 값으로부터 내삽 하여 근사 하는데, 이중선형 내삽함수를 도입하여 다음과 같이 근사하였다.

[eqn: {T(r,z,t)~ APPROX ~ SUM from j=1 to N T_j^e (t) psi _j^e (r,z)}`]                                      (4)

여기서, [eqn: N``]은 유한요소의 노드 수이고 위첨자 [eqn: e`]는 유한요소를 뜻한다. 이를 식(2)에 대입하고 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

[eqn: 0 ~= SUM from j=1 to N LEFT ( M_ij^e dT_j^e over dt + K_ij^e T_j^e RIGHT ) -Q_i^e~]                                    (5)

여기서

[eqn: &M_ij^e = INT _{OMEGA^e} psi_i psi_j rdrdz #& K_ij^e = INT _{ OMEGA^e} LEFT ( alpha partialpsi_i over partialr partialpsi_j over partialr + alpha partialpsi_i over partialz partialpsi_j over partialz RIGHT ) rdrdz~ #& Q_i^e = INT _{ GAMMA^e } psi_i q_n ds]

이다. 이것을 행렬형태로 표시하면 다음과 같이 된다.

[eqn: LEFT [ M RIGHT ] LEFT { dotT RIGHT } + LEFT [ K RIGHT ] LEFT { T RIGHT } `=` LEFT { Q RIGHT }`]                                           (6)

포물선방정식의 시간항에 대한 근사는 갤러킨의 불명료법을 도입하였다. 위의 요소방정식에 뉴튼-랩슨(Newton-Raphson)법을 적용하고 전체 영역에 대하여 확장하면 띠 행렬(banded matrix)형태의 방정식이 얻어지며 이로부터 가우스 소거법으로 해를 구하였다.

결과 및 고찰

방전불꽃의 크기는 직경이 약[eqn: rm 50mu m`] 정도 되는 방전불꽃을 가정하였고[3,5] 각각의 방전불꽃에 대한 열적손상영역(heat affected zone; HAZ)은 방전불꽃 면적보다 클 것이므로 이보다 3배 되는 크기의 원통 면에 단열 경계조건을 설정하였다[5]. 알루미나-탄화티타늄 복합체의 물성은 혼합법칙(mixing rule)에 따라 결정하였는데 각각의 물성은 상온과 융점의 중간 온도에서의 값을 택하였다(안 등[5]). 열전달계수는 열대류와 열복사 효과가 합산된 형태로 산출된 것으로 방전가공 문제의 매개변수 범위에 대하여 열복사 효과에 따라 약 10% 정도의 열대류 보정을 가져오고[3,6], 열복사에 의한 열전달효과는 다음 식에 의하여 구한다[3,5].

[eqn: h_r = sigma epsilon (T^2 +T_f^2 )(T+T_f )]                                          (7)

계산에 사용된 방전열속은 실제 방전가공 실험에서 측정된(왕 등[7]) 값인 전압 33V와 전류 7A에 대해서 적용하였다. 이것은 약[eqn: rm 2.8011 TIMES 10^10`cal/m^2 CDOT s`]의 방전열속이 반경[eqn: rm 25 TIMES 10^-6 m]인 원의 면적을 통해 공급되어진다는 것을 의미한다. 방전시간[eqn: rm 130 mus]을[eqn: rm 0.1 mu`s]의 아주 작은 시간증분([eqn: DELTA`t`])으로 나누어 계산하면서 각각의 시간마다 형성되는 피가공물 내부의 온도 분포를 살펴보았다. Fig.2는 방전이 시작되어 시간이[eqn: rm 10 mu s]가 흘렀을 때 피가공물 내부에 나타나는 온도분포를 도시한 것인데, 순간적으로 올라간 최고 온도가 약[eqn: rm 40,000`K] 이상 되는 부분이 생기는 것을 볼 수 있다. 이것은 피가공물의 용융과 증발이 모두 일어날 수 있는 온도이다. 따라서 방전이 시작되면 처음부터 바로 용융과 증발이 일어나고 표면에서 열적손상이 일어날 것으로 예측된다. 시간이 점차 경과되어 방전이 끝나는 시간인 [eqn: rm 130 mu s]에서 순간적으로 나타나는 온도분포를 Fig.3에 나타내었다. 시간이 흐름에 따라 온도가 점차적으로 높아져서 [eqn: 130 rm mu s]에서 최고온도가 약 [eqn: 200,000 rm K] 이상이 되는 부분이 나타나고, 온도 등고선이 [eqn: z`]축 방향과 [eqn: r`]축 방향으로 점차 전진해 가는 것을 볼 수 있다. 혼합법칙(mixing rule)에 의해 계산된 알루미나([eqn: rm Al_2 O_3])의 융점과 탄화티타늄([eqn: rm TiC]) 융점의 평균값인 [eqn: 2679.27 rmK]를 용융등고선의 기준으로 삼는다면 약 [eqn: 30 rm mu m] 이상의 깊이와 약[eqn: 45 rm mu m] 반경의 홈이 생긴다고 예측할 수 있다. 그러나, 증발잠열과 용융된 피가공물의 재 융착이 미치는 영향 등을 고려하지 않았으므로, 실제 온도는 이보다 훨씬 낮게 나타날 것이고 홈의 크기도 이보다 작을 것이다.

용융되어 실제로 홈이 파이는 깊이를 구하기 위해서는 융점에 도달하는 등온선의 위치를 정확하게 계산하여야 한다. 융점 등온선의 전진속도에 영향을 끼치는 중요한 요인중의 하나가 용융잠열인데 열용량에 알루미나의 용융잠열([eqn: rm lambda_m])에 해당하는 만큼의 열량을 추가하여 적용함으로써 융점등고선이 항상 보정된 위치를 나타내게 하였다. 그리고 증발잠열에 의한 영향과, 피가공물이 녹았다가 다시 착상되는 등의 영향은 다음과 같이 실제 제거층 깊이([eqn: d_c `])를 추산함으로써 적용되도록 하였다.

[eqn: d_c = eta~ z_m~]                                                         (8)

여기서,[eqn: rm{eta}`]는 가공물의 제거효율이고, [eqn: z_m~]은 용융등고선에 의해 생성되는 용융층의 깊이를 나타낸다. 문헌[1,3]에서와 같이 제거효율을 10%로 가정하여 세라믹 복합체의 매개변수 범위에 대하여 손상층의 깊이를 계산하였다.

[eqn: 10 rm mu s], [eqn: 50 rm mu s]와 [eqn: 130 rm mu s]에서의 분화구의 모양을 Fig.4에 도시하였는데, 시간이 경과함에 따라 점차적으로 전진하는 모양을 관찰할 수 있다. 최종적으로 [eqn: 130 rm mu s]까지 시간이 경과되어 한 개의 방전스파크에 의하여 형성되는 방전흔의 크기는 깊이 약 [eqn: 4 rm mu m], 반경 약 [eqn: 45 rm mu m]의 홈이 형성된다. 이것은 왕 등[7]에 의해 방전가공된 알루미나와 탄화티타늄 세라믹 복합체 시편에서 홈의 직경이 약 [eqn: 100 rmmum]이고 깊이가 [eqn: rm 5 mum]를 넘지 않는다는 것과 비교해볼 때, 계산에 의해 나타난 결과가 실제 방전가공 현상과 거의 일치한다고 할 수 있겠다. 그러므로 이들의 결과를 피삭재의 전체 가공면적에 대해 확대하여 해석하면, 표면의 열적손상영역(Heat Affected Zone ; HAZ)을 정량적으로 예측할 수 있고, 방전시간과 전류의 세기에 따른 가공속도를 알 수 있을 것이다.

참고문헌

1. Snoyes, R. and Van Dyck, F.: Annals of CIRP, 20(1), 35(1971).

2. Jilani, S. T. and Pandey, P. C.: Precision Eng., 4(4), 215(1982).

3. Madhu, P., Jain, V. K. and Sundararajan, T.: Computers Eng., 2, 121(1991).

4. Gadalla, A. M. and Cheng, Y.-M.: Conf. Mach. Comp. Mater. II, 17(1993).

5. 안영철, 정영습, 왕덕현, 윤존도: 화학공학, 35(6), 850(1997.12)

6. Bromley, L. A.: Chem. Eng. Prog., 46(5), 221.(1950)

7. 왕덕현, 우정윤, 윤존도, 안영철: 한국정밀공학회지, 14(9), 80-89 (1997. 9)