비등온 방사공정의 안정성 분석

정현욱, 현재천

고려대학교 화학공학과

The Stability Analysis of Nonisothermal Melt Spinning Processes

Hyun Wook Jung, Jae Chun Hyun

Department of Chemical Engineering, Korea University

서론

방사공정이란 용융된 고분자 물질을 방사구를 통해 압출시킨 후, 압출속도보다 빠른 속도로 권취점에서 잡아당김으로써 신장유동을 유발시키고 그 결과 섬유내 분자배향의 촉진을 통해 제품의 성질을 좋게 만드는 공정이다. 최근에는 고속방사에 의한 고강력 섬유제품의 성능이 탁월하여 고속방사공정의 산업적인 중요성은 날로 높아져 가고 있다[1]. 그러나, film casting, extrustion coating, tubular film blowing 등 많은 고분자 공정에서와 마찬가지로 방사공정에서도 흐름 불안정성의 발생에 의해 생산 속도는 제한받게 된다. 그러므로 계로 도입되는 외란으로부터 공정을 안정하게 유지하면서 일정한 규격의 제품을 대량생산하여 생산성 향상을 도모하기 위해서는 공정의 안정성을 예측하는 작업이 산업현장에서 반드시 수반되어야 한다.

방사공정의 경우 대표적인 불안정성 현상으로 □연신공명(draw resonance)□이 있는데 이 현상은 권취속도와 방사구속도의 비로 정의되는 연신비가 어떤 임계점 이상의 값을 가질 때 발생되는 것으로 섬유 면적과 tension이 주기적으로 변하는 특성을 가지고 있다. 연신공명은 방사사선의 급격한 면적변화로 이행되는 necking이나 불규칙한 면적변화를 나타내는 melt fracture와 같은 현상이 아니고 일정한 주기를 가지며 단면적 변화가 되풀이 되는 독특한 불안정성으로 이에 관련된 연구가 많이 진행되고 있다[2-5].

본 연구는 이와 같이 고분자 공정의 필수적인 고려사항이라 할 수 있는 안정성 문제를 선형안정성분석(linear stability analysis) 방법을 토대로 살펴보고 그 결과를 실제 공정에 응용함으로써 같은 품질(더 나은 품질)의 제품을 생산할 수 있도록 방사 한계속도를 계속 높일 수 있는 방법을 강구하여 방사공정의 생산성을 향상시키는 것을 그 목적으로 한다.

이론적 고찰

비등온 방사공정의 지배방정식을 다음과 같이 물질함수가 변형률속도의 함수로 표현된 White-Metzner 구성방정식을 사용하여 무차원식으로 나타내었다.

연속식 : [eqn: {partial a} over {partial t}``+``{partial (a`u)} over {partial z}~=~0]

운동식 : [eqn: C_"in"`left({partial u} over {partial t}`+`u`{partial u} over {partial z} right)``=`` 1 over a{partial (a`tau)} over {partial z}`+`C_gr`-`C_ad`u^1.19`a^-0.905]

[eqn: C_"in"`=`{rhoV_o L} / {2eta_o} `,`` C_gr`=`{rhogL^2} / {2eta_o V_o}`,`` C_ad`=`{3.122×10^-4`V_o^0.19 L^2} /{2eta_o`A_o^0.905}]

구성방정식 : [eqn: left(1`+`{□a□} root3 De partialu over partialz right)`tau`+`De`left(partialtau over {partialt} `+` u partialtau over partialz `-` 2 tau ` partialu over partialz right)``=``De over De_o`partialu over partialz]

단, [eqn: De ``=`` De_o`exp {left[E over RT_o`left(1 over theta `-` 1 right)`right]}]

에너지식 : [eqn: partialtheta over {partialt}``+``u`partialtheta over partialz ~=~St`{u^{1/3}} over {a^{5/6}}`(`theta_a``-``theta`)`left[`1``+``left(`8`{u_y} over u`right)^2`right]^{1/6}]

단, [eqn: St ~=~ {1.67``□`10^-4`L} over { rho`C_p``A_o^{5/6}``V_o^{2/3}}]

여기서, [eqn: C_"in"]은 관성력계수, [eqn: C_gr]은 중력계수, [eqn: C_ad]는 공기항력계수, [eqn: St]는 Stanton수를 의미한다.

선형안정성분석은 공정의 지배방정식으로부터 정상상태의 해를 구하고 그 해에 미소외란(infinitesimal disturbances)을 도입시켜 그 해가 수렴 혹은 발산할지를 고유치의 부호로 판별하는 방법이다. 즉 다음과 같은 perturbation 해를 도입해서 비선형 편미분 지배방정식을 선형 상미분 방정식으로 eigen-system화하여 복소수의 고유치를 구하고 이 고유치의 실수부의 부호로 계의 안정성을 판별한다.

[eqn: a`(`t`,`z`)~=~a_s`(z)``+``alpha`(z)`e^{Omega``t}] , [eqn: u`(`t`,`z`)~=~u_s`(z)``+``beta`(z)`e^{Omega`t}]

[eqn: tau`(`t`,`z`)~=~tau_s`(z)``+``gamma`(z)`e^{Omega`t}]  , [eqn: theta`(`t`,`z`)~=~theta_s`(z)``+``delta`(z)`e^{Omega`t}]

결과

먼저 limiting case로서 Newtonian유체(Deo→0)에 대하여 등온, 비등온 공정의 안정성 차이를 설명하고자 한다. 각 냉각조건에 대하여 임계연신비를 구하고 그로부터 같은 비율로 연신비를 증가시켰을 때 냉각의 효과가 클수록 연신공명에 의한 단면적변화(과도해)가 감쇄된다(Fig.1). Fig.1로부터 수치적으로 계산된 시간에 따라 변하는 단면적의 진폭인 severity(=Amax/Amin)는 선형안정성분석으로부터 계산된 고유치의 실수부와 정성적으로 같은 경향성을 보이고 (임계연신비로부터 같은 비율로 연신비를 증가시킬 때 두 값은 증가하고 냉각의 효과가 커질수록 두 값은 작아짐, Fig.2(a), Fig.3) 임계연신비에서 권취면적의 변화주기는 고유치 허수부로부터 계산된 주기와 일치함을 볼 수 있다(Fig.2(b)). 위의 결과에서 보듯이 "draw resonance eliminator"로서 작용하는 냉각의 효과는 방사사선에서의 힘과 방사속도의 관계로부터 설명될 수 있다. 즉, 냉각에 의해 방사사선에서 힘이 더 크게 걸리고 방사속도에 대한 힘의 변화는 덜 민감하므로 공정이 더 안정해져 감을 알 수 있다.

점탄성유체에서 □a□(물질풀림시간의 변형률속도 의존도)에 따른 안정성분포와 □a□가 0.1인 경우 가장 불안정한 영역을 고유치의 실수부로서 나타내었고(Fig.4 (a)) 방사공정의 실제공정조건 데이터[1]를 이용한 안정성분석 결과를 Fig.4(b)에 나타내었다. 공정을 안정하게 해주는 2차적 힘들의 영향, 비등온 공정조건의 영향을 뚜렷이 볼 수 있다. 이와 같이 안정성의 체계적 분석을 위해서는 안정성에 영향을 미치는 공정변수들과 이 변수들의 임계점을 조사하는 것이 필요하고 또한 연신공명의 메카니즘 규명을 위한 이론적, 실험적 고찰이 필수적이다.

참고문헌

1. Ziabicki, A.: □High-Speed Fiber Spinning□, John Wiley & Sons (1985).

2. Liu, B. and Beris, A.N.: J. Non-Newt. Fluid Mech., 26, 363(1988).

3. Kim, B.M., Hyun, J.C., Oh, J.S. and Lee, S.J.: AIChE J., 42, 3164(1996).

4. Ji, C.C., Yang, J.C. and Lee, W.S.: Polym.Eng.Sci., 36, 2685(1996).

5. Gupta, G. and Schultz, W.W.: Int. J. Non-Ninear Mech., 1, 151(1998).

Fig.1: Transient response of the cross-sectional area at the take-up position in        the both isothermal and nonisothermal spinning of a Newtonian fluid           (30% increase from critical draw ratio).

Fig.2: Comparison of linear and nonlinear stability analysis methods on the

spinning of a Newtonian fluid: (a) real part of the largest eigenvalue            vs. severity (b) period of draw resonance.

Fig.3: Comparison of linear and nonlinear stability analysis methods on the

spinning of a Newtonian fluid (real part of the largest eigenvalue vs.           severity).

Fig.4: Stability diagrams of (a) various White-Metzner fluids in isothermal              spinning and (b) a White-Metzner fluids under various spinning con-            ditions (□ : isothermal, ○ : isothermal with secondary forces neglected, ◆ :         nonisothermal, and ▲: nonisothermal with no cooling air).