쌍일차 모델 예측 제어기를 이용한 pH 공정의 제어

김 기생, 여 영구

한양대학교 화학공학과

Control of pH Process with Bilinear Model Predictive Controller

Saeng-Ki Kim, Yeong-Koo Yeo

Department of Chemical Engineering, Hanyang University

서  론

pH중화 공정은 화학공정에서 아주 많이 사용되는 공정이다. 그러나 이 공정은 수소이온 농도의 사용로그 값으로 그 자체가 비선형성을 내포하고 있다. 또한 일반 공정에서와 마찬가지로 공정에 유입되는 외란에 의해서 비선형적인 특성을 보인다. 그래서 이 공정을 제어하기 위한 많은 제안들이 발표되었으며 본 연구에서는 비선형성을 효과적으로 나타낼 수 있는 쌍일차 모델을 이용하여 예측 제어기를 구성하여 pH를 제어 하고자 하였다. 본 논문에서는 쌍일차 모델의 실제 적용을 위해 선 실험으로 모사를 실시하여 적당한 제어기 파라메터를 구하였다. 그리고 모사에서 구한 파라메터들을 이용하여 실험실규모의 제어 시스템을 구성하여 실제 적용가능성을 입증하였다.

본  론

1. 모사를 위한 공정 모델링.

pH 중화 공정을 컴퓨터를 이용하여 대상공정을 정확히 모사하여, 이 공정에 대해서 컴퓨터상의 제어모사를 시행한다. 이를 위해 Gustafsson등이 제안한 reaction invariant개념을 이용하여 pH공정의 동적 모델링을 수행하였다. 중화의 기본 반응식은 다음과 같이 산·염기에서 해리된 수소이온과 수산화이온이 반응하여 물을 생성하는 반응이다.

대상공정을 약산을 강염기로 중화하는 것으로 하였으며, 약산이 완전히 해리하지 않으므로 해리상수를 이용여 반응을 나타내야 한다. 특히 약산의 짝염기가 다가 이온일 경우에 대해서는 각각의 해리상수를 이용하여야 하며, 인산일 경우에는 3가 이온으로 다음과 같이 해리하고, 25℃에서 각각에 대한 해리상수는 다음과 같이 주어진다 .

이와 함께 반응하는 강염기인 수산화나트륨은 완전히 해리하며 물의 해리상수는 25℃에서 Kw = 1.0×10-14이다. reaction invarient를 다음과 같이 정의한다.

: 산 과 짝 염기

: 염기 와 짝 산

이들은 반응에 직접 참여하지 않으므로 반응기내 물질수지 식을 세우면,

여기서 V : 반응기 부피, F : 유입 stream, xaf, xbf : 유입 stream에서의 reaction invarient 농도, xa, xb : 유출액 및 반응기 내의 reaction invarient 농도를 나타낸다. 여기에서 얻어진 식을 이온 평형식을 이용하여 다음과 같이 나타내고, pH값을 얻는다.

이 모델에서는 반응기내의 반응은 신속히 일어나 평형에 도달하고, 반응물은 완전히 혼합하는 것으로 가정하였다.

2. Recursive least squares를 이용한 공정 인식 및 제어 법칙

예측제어를 위한 제어기의 모델을 쌍일차 ARMA (Bilinear Autoregressive Moving Average) 모델을 기반으로 공정의 출력을 예측하고자 하였다. 공정출력 예측모델로서 다음과 같은 쌍일차 모델을 구성하고, 공정의 Parameter를 Least square 방법을 이용하여 인식하였다.

공정을 통해서 나온 예측 값을 다음과 같이 정의하고,

Variable forgetting factor를 사용하여

P(k)의 값이 무한히 커지는 것을 방지하기 위해 이면, 로 하고, 그렇지 않을 경우에는 으로 한다. 또□가 너무 작아지지 않도록 하한 값을 0.9로 설정하였다. 이와 같은 방법으로 인식한 공정모델에 의해 예측된 값과 미리 설정한 목표 값의 차를 최소화하는 최적제어 법칙으로 one-step-ahead predictive control law를 사용하였다. 목적함수를 다음과 같이 정의하고 이를 해석적으로 구하였다.

모델예측에서 발생하는 실제 공정과 모델사이의 오차로 인한 불안정한 제어동작을 방지하기 위해 제어기의 출력에 1차 지수 필터를 달았다.

결  론

모사와 실험을 통하여 쌍일차 모델예측제어의 결과가 안정적으로 이루어짐을 알수 있었다. 모사 및 실험에 사용한 공정은 반응기 크기 2□에 0.002M H3PO4가 250□/min으로 유입되는 공정을 0.03M NaOH 용액으로 적정하여 공정의 pH를 조절하도록 구성하였다. 그림 1은 모사를 통하여 공정에 측정잡음이 전혀 없을 경우의 제어에 대한 특성을 보이고 있으며, 그림2는 공정에 측정잡음으로 □0.1pH의 잡음을 average filter로 filtering하여 제어한 결과이다. 그림 1과 2에서는 공정 입력에 대한 가중치를 0에 가까운 1.5×10-6을 사용하여 제어기 출력이 빠르게 변화하는 것을 볼 수 있다.

그림 . Control performance of bilinear controller without noise

그림 . Control performance of bilinear controller with ±0.1pH noise

이 경우에는 제어의 불안정한 결과를 얻을 수 있고 valve에 무리가 갈 수 있어 공정입력의 가중치를 1.5×10-5로 보정하여 그림 3를 얻었다. 실제 같은 값을 실험에 적용한 것이 그림 4이다. 또한 동일한 tuning parameter들을 사용하여 공정에 load 변화로 입력 유량을 □200□/min변경하였을 경우의 모사 결과가 그림5이며, 그림 6은 동일한 조건에서의 실험에 의한 결과를 나타내고 있다. 단 실험장치의 제약으로 입력 유량을 □100□/min변경하였다.

그림  Simulated control performance of bilinear controller more tuned parameter

그림  Experimental control performance of bilinear controller with the same parameters

그림  Control performance of bilinear controller load change simulation

그림  Control performance of bilinear controller with load changes experiment

그림에서 보는 바와 같이 쌍일차 모델을 이용한 예측제어가 비선형공정인 pH중화공정에 잘 적용되어 측정잡음에 대해서도 강건한 제어 결과를 보였을 뿐만 아니라. 측정 불가능한 공정의 임의의 load변화에 대해서도 강건한 제어결과를 얻었다.

참고문헌

1. Fortescue,T.R., Kershenbaum, L.S. and Ydstie, B.E., Automatica, 17, 831(1981).

2. Gustaffson, T.K., Skrifvars, B.O., Sandstrom, K.V. and Waller, K.V., Ind. Eng. Chem. Res., 34, 820(1995).

3. L. Ljung : "System Identification Theory for the user", Prentice-Hall, 1987

4. Yeo, Y.K. and Williams, D.C., Ind. Eng. Chem. Res., 26, 2267(1987).