Semi-sequential 방법을 이용한 열교환망의 합성

최재인, 박선원

한국과학기술원 화학공학과

Heat Exchange Network Synthesis by Semi-sequential Approach

Jae-In Choi and Sunwon Park

Dept. of Chem. Eng., KAIST

1. 서 론

화학공장에서의 에너지의 효율적인 이용을 위한 열교환망 합성에 관한 연구는 지금까지 매우 활발하게 연구되어 왔다. 현재까지 제시된 열교환망 합성방법은  LP, MILP, MINLP 문제를 구성하여 순차적으로 계산하는 방법과 규모가 큰 하나의 MINLP 문제를 푸는 동시적인 방법으로 구분할 수 있다. 이 2가지 방법은 각각의 장단점을 가지고 있다. 전자의 경우에는 3개의 최적화 문제를 순차적으로 풀어야 함으로 각각의 단계에서 발생할 수 있는 불확실성이 확장되어 최종적인 해에 이르러서는 최적값을 보장을 하기가 매우 어려워진다. 후자의 경우 역시 궁극적으로 풀어야하는 MINLP의 수학적인 특성상 얻어지는 해가 global optimum임을 보장할 수 없으며, 문제의 복잡성에 따라서 아예 해를 구할 수 없을 수도 있다. 본 연구에서는 순차적인 방법을 개선하여, 순차적인 방법이 가지고 있는 큰 불확실성 요소 중의 하나인 HRAT(heat recovery approach temperature)를 적당한 값으로 설정해 줄 수 있는 방법을 제안하였다.

2. 이 론

열교환망의 합성 과정은 다음과 같이 3가지 문제로 나누어서 생각할 수 있다.

(1) 최소 utility 가격을 결정한다.

(2) 최소 열교환기의 개수를 결정한다.

(3) 최소 장치비용을 결정한다.

위의 과정에서 (1)은 LP ,(2)는 MILP, (3)은 NLP 형태의 문제가 된다. 위와 같이 순차적인 방법으로 문제를 푸는 것은 최근에 제시된 동시적인(simultaneous) 방법[1,2]보다 최적화식을 만들고 계산하는데 있어서 간단하다는 장점이 있을 수 있으나, 3단계로 문제를 분리해서 풀게 됨으로 불확실성이 확장될 수 있다. 순차적인 방법이 가지고 있는 불확실성은 Floudas[4] 등에 이해 지적되었으며, 불확실성을 제거하기 위한 방법으로 동시적인 방법[1,2]이 제시되었다. 하지만, 동시적인 방법은 순차적인 방법의 3단계 과정을 통합하여 하나의 MINLP 문제를 구성하여 해를 구한다. 하지만, 문제의 규모가 매우 커짐에 따라 변수들의 초기값 설정에 해가 매우 민감하게 변하는 문제점이 있다.

2.1 Semi-sequential 방법의 제안

본 연구에서는 최적화 문제의 구성이 비교적 용이한 순차적인 방법의 개선점을 찾고자 한다. 순차적인 방법을 적용하는 3단계에 있어서 직접적으로 투자비용을 목적함수로 가지는 최적화 문제는 utility 소비량을 결정하는 (1)과 장치비용을 결정하는 (3)이다. 기존의 순차적인 방법에서 계산 초기에 상수로 설정 해주는 HRAT의 값은 전체 투자비용의 결정에 중요한 역할을 한다. 최근에 제시된 동시적인 방법[1,2]에서는 HRAT 역시 변수로 취급하였으며, 따라서 좀 더 낳은 해를 구할 수 있다.

2.1.1 HRAT와 전체 투자비용과의 관계

일반적으로 HRAT의 증가는 LP 수식화 단계에 있어서 각각의 온도범위의 차이를 증가시켜 utility 소비량을 증가시키는 결과를 가져오게 된다. Utility 가격을 결정하는 단계의 문제는 LP 이며, 따라서 HRAT 값은 선형적으로 utility 가격과 비례하는 관계를 가진다. 이와 같은 고찰은 여러 가지 경우의 HENS 문제에 적용하여 확인할 수 있었다. 최소장치 비용을 결정하는 NLP 수식화 단계에서는 HRAT와 목적함수 사이의 직접적인 상관관계를 찾기 힘들다. 하지만, NLP 문제의 feasible한 제약조건에 HRAT가 포함되어 있음에 착안하여 관계를 유도할 수 있다. 일반적인 열교환기 설계식은 Q=UALMTD 이며, Q는 열부하, U는 열전달 계수, A는 열교환 면적, LMTD는 로그 평균온도차이다. LMTD는 다음과 같은 식으로 정의된다.

[eqn: LMTD " " = " " {theta_2 - theta_1} over {ln{theta2 over theta1}}]                                   (4)

Chen[6]은 (4)식을 수치적으로 다루기 유리하게 다음과 같이 다음과과 같이 표현 할 수 있음을 제안하였다.

[eqn: LTMD " " CONG " " [theta_1 theta_2 (theta_2 theta_1 )/2 ] ^ {1/3}]                         (5)

HRAT와 장치비용을 결정 짓은 열교환 면적과의 관계는 system에 따라 다르지만, (5)식에서 HRAT와 온도차이 [eqn: theta_i]를 같은 level로 놓는 다면, 열교환기의 면적과 HRAT는 반비례관계 관계에 있음을 유도 할 수 있다. 일반적인 열교환기의 가격 결정식에서 장치의 가격은 면적의 지수승에 비례하므로, HRAT와 장치비용과의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: Cost " " = " " alpha ( Q over U(HRAT) )^beta]                             (6)

위의 식에서 [eqn: beta]는 일반적인 열교환기 가격 식에 포함되는 상수이며, [eqn: alpha]는 비례관계를 나타내 주는 상수이다. 이와 같은 고찰을 통해서 utility의 소비가 있을 경우의 HENS 전체비용과 HRAT와의 관계는 그림 1.과 같이 나타낼 수 있다.

그림 . HRAT와 HENS 전체 가격과의 관계

2.1.2 최적화 함수의 수식화

HRAT와 utility 비용과의 선형적인 비례관계와 장치비용과의 비선형적인 반비례관계를 적절히 고려하면, 다음과 같이 h(=HRAT)를 변수로 가지는 간단한 NLP를 구성 할 수 있다.

[eqn: Min. " " ( a + b h )" "+" " ( Q over Uh ) ^ beta]                           (7)

(7)식에서 a, b는 utility 비용과 HRAT의 선형적인 관계식에서 얻어지는 상수이며, C, U, [eqn: beta]등은 장치비용의 계산에 주어지는 열전달 상수이며, Q는 열교환기가 교환해야 하는 열량을 나타낸다. 위의 목적함 수의 최소화에서 결정해 주어야하는 변수는 HRAT 하나이며, 나머지 값들은 주어진 열교환망 system의 특성에 따라서 결정해 주어야하는 값이다. 구체적인 최적화 문제의 구성 방법은 다음과 같다.

(a) HRAT 값을 설정하여, LP 문제를 구성하고 최소 utility 비용을 결정한다.

(b) HRAT 값을 2,3번 변화시키면서 (a)의 과정을 반복한다.

(c) (a), (b)를 통해서 HRAT와 utility 비용간의 정확한 선형적 관계식을 결정한다. ===> a, b 값의 구함.

(d) Q 값은 대략적으로 가장 많은 열용량을 가지고 있는 흐름의 열용량 값에 LP의 해에서 추가적으로 필요한 utility의 열용량을 더한 값이 된다. data를 통해서 C, U, [eqn: beta] 값은 문제에서 주어진 data를 통하여 대입한다.

위와 같은 방법으로 (7)식을 구성할 수 있으며, (7)식을 목적함수로 하는 NLP문제를 계산하여 HRAT 값을 결정한다.

3. 예 제

본 연구에서 제시된 방법을 적용하여 다음과 같은 간단한 HENS 문제의 해를 구하여 봤으며, 기존의 순차적인 방법으로 HRAT를 상수로 취급하여 구한 해와 비교하였다. 예제 문제에 대한 data는 다음 표 1.에 나타내었다.

표 . 예제문제의 열류 data

Stream	TIN(K)	TOUT(K)	FCp(kW/K)	U(KW/m2K)	Cost ($/KW-yr)
H1	440	350	22.0	1.0	-
C1	350	420	20.0	1.0	-
C2	310	390	7.5	1.0	-
S	500	500	-	1.0	80
CW	300	300	-	1.0	10
Exchanger Cost = 13,00Aij0.6 $/yr ; A=m2

3.1 순차적인 방법의 적용

HRAT = 15K 으로 고정하여 순차적인 방법을 이용하여 해를 구하였다. 순차적인 방법의 첫 단계인 LP[8]를 풀어서 구한 최소 utility 비용은 25600$/yr 였으며, 이후 MILP[8]를 풀어 구한 최소 열교환기의 개수를 결정하였다. 구한 LP와 MILP의

표 . 순차적인 방법에 의한 열교환망

Marches	열부하	Aij , m2
Match H1-C1	Q11 = 1380 kW	101.43
Match H1-C2	Q12 = 600 kW	21.90
Match S-C1	Qs1 = 320 kW	1.539

해를 이용하여 열교환망의 구조를 결정짓는 superstructure를 유도하고, 장치가격을 최소화하는 NLP 문제[3]를 구성하여 얻어진 최소 장치비용은 30748.4$/yr 이었다. 이때의 최종적으로 얻어진 열교환망에 대한 정보는 표2.에 나타내었다.

3.2 반-순차적인(Semi-sequential) 방법의 적용

표 . 반-순차적인 방법에 의한 열교환망

Marches	열부하	Aij , m2
Match H1-C1	Q11 = 1380 kW	87.70
Match H1-C2	Q12 = 600 kW	32.90
Match S-C1	Qs1 = 248.8 kW	3.335

앞서 제안된 방법에 의해서 순차적인 문제를 풀기 전에 LP 단계에서 HRAT와 utility 가격과 의 선형적인 관계를 구한 후, 역시 LP를 풀어서 얻어진 대략적인 열부하를 이용하여 전체 열교환기 가격을 근사할 수 있는 (7)식과 같은 형태의 식을 구성하였다. 이때 얻은 NLP를 풀어서 얻은 HRAT의 적정값은 11.44 였다. 이 후에는 4.1과 같은 방법으로 HRAT=11.44K를 적용하여 순차적인 방법을 통하여 일련의 LP, MILP, NLP를 풀었다. 최종적으로 얻어진 열교환망에 대한 정보는 표 3.에 나타내었다. 이때, Utility 가격은

19904$/yr 이며, 장치비용은 32295.04$/yr 이었다.

열교환망의 구성은 4.1의 경우와 같았으며, 그림 2.에 나타내었다. 제안된 방법에 의해서 얻어진 열교환망은 전체가격에 있어서 기존의 순차적인 방법을 이용한 4.1의 경우에 비해 8% 정도의 이익을 얻을 수 있었다.

그림 . 예제의 최적 열교환망 구조

4. 결 론

본 연구에서는 열교환망 합성에 있어서 적절한 HRAT를 선택할 수 있는 방법을 통해 기존의 순차적인 방법을 개선하였다. 또한 제안된 방법은 동시적인 방법의 문제점인 큰 규모의 MINLP를 푸는 것보다 쉽게 해를 구할 수 있는 장점을 가지고 있다. 예제를 통하여 순차적인 방법보다 최적에 가까운 해를 구할 수 있음을 확인하였다.

감  사

본 연구는 포항공대 지능자동화연구센터를 통한 한국과학재단 우수연구센터의 부분적 지원금에   의한 것입니다.

참고문헌

[1] A.R. Ciric ; C.A. Floudas (1991), Heat exchanger network synthesis without decomposition , Computer and Chem. Engng. 15, 385

[2] Daichendt, M. M., ; Grossmann, I. E. (1994). Preliminary screen procedure for the MINLP synthesis of process systems. II. Heat exchanger networks. Computer and Chem. Engng. 18, 679

[3] C.A. Floudas; A.R. Ciric; I. E. Grossmann (1986), Automatic Synthesis of Optimum Heat Exchanger Network Configurations , AIChE Journal. 32, 276

[4] C.A. Floudas; A.R. Ciric (1989), Strategies for overcoming uncertainties in heat exchanger network synthesis , Computer and Chem. Engng. 13(10), 1117

[5] Jainme Cerda; Arthur W. Westerverg et al. (1982), Minimum utility usage in heat exchanger network synthesis , Chemical Eng. Sci. 38, 373

[6] Chen, J.J.J. (1987), Letter to the Editor : Comments on improvements on a replacement for the logarithmic mean , Chemical Eng. Sci. 42, 2488

[7] T. Gundersen; I. E. Grossmann (1990), Improved optimization strategies for automated heat exchanger network synthesis through physical insights , Computer and Chem. Engng. 14, 925

[8] T. Gundersen; L. Naess (1987), Review Paper : The synthesis of cost optimal heat exchanger networks, Computer and Chem. Engng. 12, 503

[9] "Systematic Methods of Chemical Process Design" L.T. Biegler/E.I. Grossmann/A.W. Westrberg, Prentice-Hall International, Inc. 1995, 2nd edition.