Parameterization을 이용한 제지 공정 파지 손실 문제 최적화

나성훈, 고대호, 문일

연세대학교 화학공학과

Optimization of Trim Loss Problem in Paper Mill Process

Using Parameterization

Seonghoon Na, Daeho Ko and Il Moon

Department of Chemical Engineering, Yonsei University

서론

일상 생활에서 큰 비중을 차지하고 있는 종이는 그 용도에 따라 여러 가지 규격을 필요로 한다. 제지 공장에서는 이러한 여러 가지의 종이 규격과 수요량을 충족시키기 위하여 크기가 일정한 원료 종이 롤을 분할하여 규격에 맞는 작은 규격의 종이를 생산하게 된다. 이렇게 여러 종류의 종이를 만들어 내는 제지 공정에서 종이를 규격에 맞게 자를 때 여분의 파지가 발생하게 된다. 이 파지의 발생량을 최소화시키면서 수요자의 주문을 충족시켜야 하는 trim loss 문제는 제지 공정에서 매우 중요한 문제이다. 많은 양의 파지가 발생하게 되면 그만큼의 종이를 만들기 위한 원료 비용과 종이 코팅 비용, 에너지 소비 등의 비용이 발생하고 발생한 파지는 소각하거나 다시 물에 녹여 재활용 공정을 거쳐야 하므로 추가되는 비용이 발생하게 되며 소각시 발생하는 종이에 함유되어 있는 여러 물질들로 인한 매연은 환경에도 영향을 끼치게 된다. 본 연구에서는 최적화 기법을 이용하여 여러 규격의 종이 제조시 발생되는 파지의 양을 최소화하는 동시에 수요자의 주문도 만족시키는 문제를 해결하고자 하였다. 이 제지 공정에서의 trim loss 문제를 모델링하게 되면 MINLP 형태의 문제가 형성된다. 이 MINLP 문제를 해결하는 과정에서, 제약식 중 하나가 두 정수 변수의 곱의 형태로 나타나는 bilinearity를 보였다. 두 정수 변수가 곱의 형태로 나타나는 bilinearity는 non-convex한 동시에 non-linear하므로 문제의 수렴성이 극히 저하된다. 이 두 변수 중 한 변수를 파라미터화하여 bilinearity를 해소하고 제약식의 수를 줄여 수렴하지 않는 문제의 최적 해를 구하였다.

본론

일상 생활에서 많이 쓰이는 종이를 만드는 제지 공정은 일반적으로 paper machine, coater, rewinder, sheet cutter, roll wrapper/ream wrapper 의 단계로 구성되어 있다(그림 1). 이 중, sheet cutting 공정에서는 rewinder에서 생산되는 일정한 규격의 큰 원료 종이 roll을 수요에 따라 여러 규격에 맞게 자르게 되는데 이 때 여분의 종이를 잘라 내어야 한다.

그림 1. 제지 공정의 모식도

이러한 trim loss 문제를 최적화하기 위해 목적함수를 원료 종이의 비용과 cutting pattern의 변화에 따른 손실 비용의 최소화에 중점을 두고 모델링하면 MINLP형태의 문제가 다음과 같이 형성된다.

[eqn: {rm min} ~"{" SUM from j=1 to J c_j □m_j + C_j □y_j "}"]	(1)

subject to

[eqn: SUM from { i=1 } to I b_i □ n_ij - W_j,max <= 0]	(2)

[eqn: - sum from {i=1} to I b_i □ n_ij + W_j,max - t_j <= 0]	(3)

[eqn: sum from {i=1} to I n_ij - N_max <= 0]	(4)

[eqn: y_j - m_j <= 0]	(5)

[eqn: m_j - M_j □y_j <= 0]	(6)

[eqn: j = 1, ...,J]

[eqn: n_i,order - sum from {j=1} to J m_j □n_ij <= 0]	(7)

[eqn: i = 1, ...,I]

[eqn: {m_j} ,~ n_ij IN Z^+]

[eqn: y_j IN "{"0,1"}"]

위 문제에서 목적함수 (1)의 제약식 중 (7)식은 [eqn: m_j]와 [eqn: n_ij]가 곱하여진 형태이다. 이러한 형태의 제약식은 bilinearity에 의하여 non-convex/non-linear하므로 문제의 수렴성을 극도로 저하시킨다. 이를 해결하기 위해 파라미터로 바꿀 수 있는 변수를 선정한 후 먼저 이 변수를 제안된 알고리듬(그림 2)에 의하여 파라미터로 변환시킨다. 주 루프 안에서는 매번의 반복 계산마다 [eqn: n_I]의 값을 하나씩 증가시키고 다른 변수들의 값도 하나씩 갱신하게 된다. [eqn: n_1]의 값이 상한값 밖으로 넘어가게 되면 각각의 [eqn: n_i]에 대한 모든 가능한 조합들이 생성되고 루프가 끝나게 된다. 이 과정을 통하여 얻어진 파라미터를 토대로 파라미터화된 변수에 관계된 필요 없는 제약식을 제거한 후, 이 결과로 얻어지는 MILP를 해결하게 되면 훨씬 개선된 수렴성을 보인다.

이 알고리듬을 이용하여 bilinearity를 발생시키는 (7)에서 두 변수 중 [eqn: n_ij]를 파라미터화하면 위 목적함수와 제약식들을 다음과 같이 바뀌게 된다. [eqn: n_ij]를 파라미터로 변환하면서 [eqn: n_ij]에 관계된 식 (2), (3), (4)는 제거된다.

[eqn: {rm min} ~"{" SUM from j=1 to J c_j □m_j + C_j □y_j "}"]

subject to

[eqn: y_j - m_j <= 0]

[eqn: m_j - M_j □y_j <= 0]

[eqn: j = 1, ...,J]

[eqn: n_i,order - sum from {j=1} to J m_j □n_ij <= 0]

[eqn: i = 1, ...,I]

[eqn: {m_j} ,~ n_ij IN Z^+]

[eqn: y_j IN "{"0,1"}"]

그림 2. 파라미터 생성 알고리듬

적용 예제

표 1은 각각 다른 크기의 네 가지 종이의 규격과 수요량을 나타낸 것이다.

Product(i)	Number(n)	Number(maximum)	Width(mm)
1	8	10	330
2	7	8	360
3	12	13	385
4	11	12	415

표 1. 예제 order

[eqn: J = I = 4], [eqn: c_j = 1], [eqn: C_j = 0.1], [eqn: W_{j,~"max"} = 1900{rm mm}],

[eqn: t_j = 200 {rm mm}], [eqn: N_{j, ~"max"} = 5], [eqn: M_j = "{"8, 7, 4, 2 "}"]

위의 주문에 대한 파라미터들을 식 (5) ∼ (7)에 대입하고 최적화 패키지를 이용하여 목적함수 (1)의 최적해를 계산하여 표 2에 나타내었다.

j	[eqn: m_j]	[eqn: n_1,j]	[eqn: n_2,j]	[eqn: n_3,j]	[eqn: n_4,j]	[eqn: W_j ({rm mm})]
1	4	1	2	0	2	1880
2	4	1	0	3	1	1900

표 2. 최적화 결과

결론

본 연구에서는 제지 공정의 trim loss 최적화 문제에 대하여 공정을 모델링하고 그 목적함수 (1)과 그에 대한 제약식 (2)∼(7)을 푸는 과정에서 나타난 bilinearity를 먼저 한 변수의 feasible한 파라미터들의 집합을 구한 후 최적화 패키지를 이용하여 원래의 목적함수를 최적화하는 parameterization method를 이용하여 두 단계로 나누어서 bilinearity를 해소하고 목적함수를 최적화하였다. 원 문제의 bilinearity를 해결하지 않고 최적화 문제를 풀면 non-convexity로 인하여 최적해가 수렴하지 않는다. 그러나 본 연구에서 제안된 방법으로 한 변수를 파라미터화 하여 bilinearity에 의한 non-linearity/non-convexity를 해결하고 최적화 문제를 풀면 필요 없는 계산을 하지 않게 되므로 수렴성의 개선 효과를 볼 수 있고, 그 변수에 관련된 불필요한 제약식을 줄이는 효과도 같이 얻을 수 있다.

참고문헌

1. 고대호, 문일, □회분공정을 위한 동적 생산계획 기법 개발□, 화학공학, Vol. 35,

No 3, pp. 338-343. (1997)

2. Harjunkoski, I., Westerlund, T., Isaksson, J. and Skrifvars, H., "Different

Formulations for Solving Trim Loss Problems in a Paper Converting Mill

with ILP", Computers and Chem. Engng, Vol. 20, Suppl. A, pp. S121-126.

(1996)

3. Floudas, C. A., "Nonlinear and Mixed-Integer Optimization, Fundamentals

and Applications", Cambridge University Press, New York. (1995)