상태공간에서 재조명한 품질제어가 포함된 회분공정용 LQG

진인식, 이광순, 최진훈, 이재형*

서강대학교 화학공학과, Purdue대학교 화학공학과*

State-space based Reformulation of QBLQG

Insik Chin, Kwang Soon Lee, Jinhoon Choi, Jay H. Lee*

Department of Chemical Engineering, Sogang University,

Department of Chemical Engineering, Purdue University*

서론

본 연구에서는 지난 학회를 통하여 발표한 바 있는 품질 제어가 결합된 회분공정용 LQG 제어 기법[1]을 상태 공간에서 재조명하였으며 특히 회분별로 반복되는 잡음과 그렇지 않은 잡음들을 분리, 처리하는 알고리듬을 추가하여 제어 성능과 안정성을 제고시키고자 하였다.

본론

먼저 회분/반회분 공정의 공정출력변수에 대한 시변 선형 상태공간 모델을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: x_{k}(t+1) &=& A^{y}(t)x_{k}(t)+B^{y}(t)u_{k}(t)+v_{k}^y (t)# y_{k}(t) &=& C^{y}(t)x_{k}(t)+w_{k}^y (t)]

식 1로부터 각 변수의 회분간 차이에 대한 상태공간 모델을 다음과 같이 얻어낼 수 있다.

[eqn: x_{k}^{y}(t+1) &=& A^{y}(t)x_{k}^{y}(t)+B^{y}(t)Deltau_{k}(t)+Deltav_{k}^{y}(t)# Delta y_{k}(t) &=& C^{y}(t)x_{k}^{y}(t)+Deltaw_{k}^{y}(t)]

또한 이차변수에 대해서도 같은 방법으로 모델을 얻어낼 수 있다. 본 논문에서 첨자 s는 이차변수를 첨자 y는 공정 출력변수를 나타낸다. 그러나 기존의 모델 구조하에서는 회분별로 상관관계를 갖는 잡음과 그렇지 않은 잡음을 구분하여 대처할 수 있는 방법이 처리할 수 없다는 단점이 있었다[1]. 이를 극복하기 위하여 기존의 모델 구조를 개선하여 회분별로 상관관계를 갖고 있는 잡음과 그렇지 않은 잡음을 각기 처리할 수 있도록 하였다. 이를 위해 우선 잡음항을 다음과 같이 나눈다.

[eqn: v_k^y (t)&=& bar{v}_k^y (t)+hat{v}_k^y (t), ~~bar{v}_k^y (t)-bar{v}_k-1^y (t)=n_k^y (t)# w_k^y (t)&=&bar{w}_k^y (t)+hat{w}_k^y (t), ~~bar{w}_k^y (t)-bar{w}_k-1^y (t)=m_k^y (t)]

여기서 [eqn: hat{v}_k^y (t),~hat{w}_k^y (t),~n_k^y (t),~m_k^y (t)]는 각각 백색 잡음이다. 위와 같이 잡음항을 나누어 표현함으로서 시스템을 표현하는 상태 공간 모델도 다음과 같이 나누어 표현할 수 있다.

[eqn: bar{x}_{k}^{y}(t+1) &=& A^{y}(t)bar{x}_{k}^{y}(t)+B^{y}(t)u_{k}(t)+bar{v}_{k}^{y}(t)# bar{y}_{k}(t) &=& C^{y}(t)bar{x}_{k}^{y}(t)+bar{w}_{k}^{y}(t)]

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[eqn: hat{x}_{k}^{y}(t+1) &=& A^{y}(t)hat{x}_{k}^{y}(t)+hat{v}_{k}^{y}(t)# hat{y}_{k}(t) &=& C^{y}(t)hat{x}_{k}^{y}(t)+hat{w}_{k}^{y}(t)]

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이제 식 4에 대하여 연속된 두 회분의 차를 구하면 다음과 같이 표현된다.

[eqn: Deltabar{x}_{k}^{y}(t+1) &=& A^{y}(t)Deltabar{x}_{k}^{y}(t)+B^{y}(t)Deltau_{k}(t)+n_{k}^{y}(t)# bar{y}_{k}(t) &=& C^{y}(t)Deltabar{x}_{k}^{y}(t)+bar{y}_{k-1}(t)+m_{k}^{y}(t)]

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그런데 한가지 문제는 [eqn: bar{y}_k-1 (t)]가 측정이 불가능하다는 점이다. 이를 해결하기 위한 차선의 방법으로 [eqn: bar{y}_k-1 (t)] 대신에 이전 회분에서 Kalman filter로부터 구한 [eqn: bar{y}_k-1 (t|t)]를 사용한다. 이를 이용하여 식 5와 함께 상태 공간 모델을 구성하면 다음과 같다.

[eqn: LEFT [ MATRIX { {hat{x}_k^y (t+1) }# {Deltabar{x}_k^y (t+1) } } RIGHT ] &=& LEFT [ MATRIX {{A^y (t)}&{0}#{0}&{A^y (t)} }RIGHT ] LEFT [ MATRIX { {hat{x}_k^y (t) }# {Deltabar{x}_k^y (t) } } RIGHT ]+ LEFT [ MATRIX { {0}# {B^y (t) } } RIGHT ]Deltau_k (t) + LEFT [ MATRIX { {hat{v}_k^y (t+1) }# {n_k^y (t+1) } } RIGHT ]# y_k (t)- hat{y}_{k-1}(t|t)&=&LEFT [ MATRIX{{C^y (t)}&{C^y (t)}} RIGHT ] LEFT [ MATRIX { {hat{x}_k^y (t) }# {Deltabar{x}_k^y (t) } } RIGHT ]+hat{w}_k^{y} (t)+m_k^y (t)]

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두 번째로 다음과 같은 상태 공간 모델이 주어진 이차변수에 대한 모델링은 다음과 같다.

[eqn: x_{k}^{s}(t+1) &=& A^{s}(t)x_{k}^{s}(t)+D^s (t) y_k (t)+B^{s}(t)u_{k}(t)+v_{k}^{s}(t)# s_{k}(t) &=& C^{s}(t)x_{k}^{s}(t)+w_{k}^{s}(t)]

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이차변수에 대해서도 역시 위와 같은 방식으로 회분별, 시간별로 화이트닝된 상태 공간 모델을 다음과 같이 구성할 수 있다.

[eqn: LEFT [ MATRIX { {hat{x}_k^s (t+1) }# {Deltabar{x}_k^s (t+1) } } RIGHT ] &=& LEFT [ MATRIX {{A^s (t)}&{0}#{0}&{A^s (t)} }RIGHT ] LEFT [ MATRIX { {hat{x}_k^s (t) }# {Deltabar{x}_k^s (t) } } RIGHT ] +LEFT [ MATRIX { {0}# {B^s (t) } } RIGHT ]Deltau_k (t) + LEFT [ MATRIX { {hat{v}_k^s (t+1) }# {n_k^s (t+1) } } RIGHT ]# &&+ LEFT [ MATRIX {{D^s (t)A^y (t)}&{0}#{0}&{D^s (t)A^y (t)} }RIGHT ] LEFT [ MATRIX { {hat{x}_k^y (t) }# {Deltabar{x}_k^y (t) } } RIGHT ]# s_k (t)- hat{s}_{k-1}(t|t)&=&LEFT [ MATRIX{{C^s (t)}&{C^s (t)}} RIGHT ] LEFT [ MATRIX { {hat{x}_k^s (t) }# {Deltabar{x}_k^s (t) } } RIGHT ]+hat{w}_k^{s} (t)+m_k^s (t)]

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[eqn: hat{q}_k &==& SUM_{i=0}^{N}F_1^q (i)hat{x}_k^y (i) +SUM_{i=0}^{N}F_2^q (i)hat{x}_k^s (i) +hat{r}_k^q # bar{q}_k &==&SUM_{i=0}^{N}F_1^q (i)bar{x}_k^y (i) +SUM_{i=0}^{N}F_2^q (i)bar{x}_k^s (i) +SUM_{i=0}^{N-1}B_1^q (i)u_k (i) +bar{r}_k^q]다음 단계로서 품질변수에 대한 모델링을 다음과 같이 수행한다. 먼저 품질변수도 [eqn: q_k == bar{q}_k + hat{q}_k]로 나누어 표현한다. 각각은 다음과 같이 정의된다.

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여기서 [eqn: F_1^q (t), ~F_2^q (t), ~B_1^q (t)]는 품질변수와 다른 변수들간의 선형 Regression을 통해 얻어진다.

그리고 식 11에 대하여 연속된 두 회분의 차를 구하면 다음과 같다.

[eqn: bar{q}_k -bar{q}_k-1 = SUM_{i=0}^{N}F_1^q (i)Deltabar{x}_k^y (i) +SUM_{i=0}^{N}F_2^q (i)Deltabar{x}_k^s (i) +SUM_{i=0}^{N-1}B_1^q (i)Deltau_k (i) +bar{d}_k^q]여기서 [eqn: bar{d}_k^q ==bar{r}_k^q - bar{r}_k-1^q]이다.

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[eqn: hat{x}_k^q (t) &==& SUM_{i=0}^{t}F_1^q (i)hat{x}_k^y (i) +SUM_{i=0}^{t}F_2^q (i)hat{x}_k^s (i) +hat{v}_k^q # Deltabar{x}_k^q (t) &==&SUM_{i=0}^{t}F_1^q (i)Deltabar{x}_k^y (i) +SUM_{i=0}^{t}F_2^q (i)Deltabar{x}_k^s (i) +SUM_{i=0}^{t-1}B_1^q (i)Deltau_k (i) +n_k^q]품질변수에 대한 상태 공간 모델을 구성하기 위해 먼저 다음과 같이 상태를 정의한다.

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위 식으로부터 다음과 같은 관계식을 얻어낼 수 있다.

[eqn: hat{x}_k^q (t+1) &=& hat{x}_k^q (t)+ A_1^q (t)hat{x}_k^y (t) +A_2^q (t)hat{x}_k^s (t) #&&+ F_1^q (t+1)hat{v}_k^y (t) +F_2^q (t+1)hat{v}_k^s (t) # Deltabar{x}_k^q (t+1) &=&Deltabar{x}_k^q (t)+ A_1^q (t)Deltabar{x}_k^y (t) +A_2^q (t)Deltabar{x}_k^s (t) +B^q (t)Deltau_k (t) #&& +F_1^q (t+1)n_k^y (t) +F_2^q (t+1)n_k^s (t)+F_2^q (t+1)D^s (t)m_k^y (t)]

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위 식으로부터 품질변수에 대한 상태 공간 모델을 구성한다. 마지막으로 각기 구성한 각각의 상태 공간 모델들을 하나로 합하여 상태 공간 모델을 구성하게 되면 모든 잡음들이 회분별, 시간별 상관관계를 갖고 있지 않은 완전한 하나의 상태 공간 모델을 구성할 수 있게 된다. 최종 상태 공간 모델을 얻게되면 얻어진 상태 공간 모델에 대하여 표준적인 LQG 기법을 적용한다.

수치 예제

[eqn: A+B ~{ k_1} atop { -> } ~C# B+C ~{ k_2} atop { -> } ~D]다음과 같은 발열, 직□병렬 반응이 일어나는 반회분 반응기를 고려하였다.

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초기에 반응기 내부에는 반응물 A가 있고 이를 일정온도까지 가열한 후 t=30 min 부터 B가 유입되며 A와  반응을 일으켜 제품 C가 생성된다. 그러나 생성물 C는 B와 추가의 반응을 일으켜 원하지 않는 생성물 D를 생성시킨다. 이 반응기에서는 쟈킷 온도 뿐 아니라 B의 유입 속도도 함께 조작할 수 있는 것을 가정하였으며 추가의 입력 여유도가 있어 완전한 품질 제어도 수행할 수 있는 조건을 갖추고 있다. 반응기 모델은 다음과 같다.(자세한 parameter값들은 http://procd9.sogang.ac.kr 참조)

현재 정상적인 상태에서는 반응기로 유입되는 반응물 B의 농도가 0.95(mol/l)로 유지되다가 외란으로서 B의 농도가 램덤하게 변하는 경우(유량은 일정하게 유지)에 대하여 제안한 제어기와 기존의 추적 제어기를 각각 적용하여 전산모사를 수행하였으며 결과는 그림과 표에 나타내었다.

	BMPC(Only Tracking)	Previous QBMPC	Modified QBMPC
Mean Value	41.77	42.00	42.00
Standard Deviation	0.342	0.258	0.168

[eqn: {d(VT)}over{dt} &=&-{UA}over{rho C_P}(T-T_{j})+Q_{B}T_{B}- {V DeltaH_{1}}over{rho C_P}k_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}# &&-{V DeltaH_{2}}over{rho C_P}k_{20}e^{-E_{2}/RT}C_{B}C_{C},~T(0)=T_I # {d(VC_{A})}over{dt}&=&-Vk_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}, ~C_{A}(0)=C_{AI}# {d(VC_{B})}over{dt}&=&C_{BF}Q_{B} -Vk_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}-Vk_{20}e^{-E_{2}/RT}C_{B}C_{C}, ~C_{B}(0)=0# {d(VC_{C})}over{dt}&=&Vk_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}- Vk_{20}e^{-E_{2}/RT}C_{B}C_C , ~C_C (0)=0# {dV}over{dt}&=&Q_B , Q_{B}(t)= LEFT { MATRIX { 0 ~~~~~for~ t<31 # Q_B (t) ~for~ t>= 31 } RIGHT.]

□ 공정 상황 및 제어 조건

□ 제어 입력 : Tj(t), FB(t),  피제어 공정 변수: T(t),

이차 측정 변수:  CA(t),  품질 변수: NC(tf)

□ 총 회분 운전 구간 : tf =100 min,  제어 주기: 1 min,

이차 변수 측정 주기: 10 min

□ 제어 목표

□ NC의 최종치를 42(mol)에 유지.

□ T(t)가 주어진 궤적을 추적하도록 함.

참고 문헌

1. Chin, I. S..; Lee, K. S.; Lee, J. H. A Technique for Integrated Quality Control, Profile Control and Constraint Handling for Batch Processes. Accepted by Ind. & Eng. Chem., 2000

Acknowledgement

이 논문은 2000년도 두뇌한국21사업에 의하여  지원되었습니다.