비축대칭형 전기장에 의해 유도된 구형 액적 내부 유동에 대한

3차원 해석해

임 도진, 강 인석

포항 공과 대학교 화학공학과 및 기계, 산업공학부

Three-Dimensional Analytical Solution for the Circulating Flow

in a Spherical Drop Under Non-axisymmetric Electric Fields

D. J. Im, I. S. Kang

Dept. of Chem. Eng. & Division of Mech. and Indust. Eng., Postech

서론

서로 섞이지 않고 전기를 통하지 않는 두 액체가 하나는 bulk phase로 또 다른 하나는 drop의 형태로 존재하는 시스템에 전기장을 가하면 전기적인 특성(electrical permittivity, conductivity) 차이 때문에 drop의 계면에 shear stress가 걸려, drop 내부와 외부에 유동이 생기게 된다. 이렇게 생성된 유동은 drop 내의 물질 전달 속도를 획기적으로 향상시키는데 이용될 수 있을 것이다. 현재 이러한 연구의 시발점으로서 축 대칭형의 경우 그 해석이 시도되었다[1]. 하지만 축 대칭형 문제의 경우 다양한 실제 현상을 표현하는데 제한이 있을 뿐 아니라 추출 효율 측면에서도 그 효과를 극대화하는 것이 한정되어 있다. Sphere 안팎의 유동장은 Stokes Flow의 경우 Lamb's Solution이라는 3차원 일반 해가 존재하며 주어진 경계조건을 이용하여 해석해를 얻을 수 있다[2].

3차원 유동장에 대한 지배 방정식과 경계 조건

1) Governing Equation (Stokes Equation)

[eqn: □^2 bold v = 1 over mu □p]         ([eqn: □^2 p=0])

2) Boundary Conditions ( at r=a )

[eqn: v_r^(i) =0]   [eqn: v_r =0]

[eqn: v_theta^(i) =v_theta]

[eqn: v_phi^(i) =v_phi]

[eqn: [[tau_theta ]]={ }-[[tau_theta^e ]]]       [eqn: left( tau=bold t cdot (bold n cdot bold {rm T} ), { }{ }{ }{ }{ }{ }bold {rm T} = -p bold delta + 2mu bold e right)]

[eqn: [[tau_phi ]]={ }-[[tau_phi^e ]]]      [eqn: left( tau^e =bold t cdot (bold n cdot bold {rm T} ^e ), { }{ }{ } bold {rmT} ^e = epsilon left[ bold {rm EE} - 1 over 2 E^2 bold{rm I} right] right)]

[[ ]]은 drop의 경계면을 통한 jump(out-in)를 나타내고, 위 첨자 (i)는 drop 내부의 양을, 없는 것은 외부의 양을 나타낸다. 경계 조건 중 tangential 방향으로의 속도와 스트레스에 대한 연속 조건은 그대로 적용할 경우, spherical harmonics의 □방향 미분이 포함되어 풀이가 매우 복잡하고 어려워진다. 이러한 어려움 때문에 Lamb's Solution에 대한 경계 조건 적용은 조금 다른 측면에서 접근되어져야 할 필요가 있다. 이에 우리는 Brenner가 제시한 다른 종류의 경계 조건을 채택, 문제를 해결했다[3]. 새로운 경계 조건 적용 방법을 이용, 주어진 경계 조건을 다시 정리하면 다음과 같다.

3) Modified Boundary Conditions ( at r=a )

[eqn: left[{bold r cdot {bold v}^(i)} over {r} right]_r=a =v_r^(i) |_r=a =0]

[eqn: left[{bold r cdot bold v } over {r} right]_r=a =v_r |_r=a =0]

[eqn: left[(bold r cdot bold del )left({bold r cdot {bold v} ^(i)} over {r} right)-r del cdot {bold v }^(i) right]_r=a = left[(bold r cdot bold del )left({bold r cdot bold v } over {r} right)-r del cdot bold v right]_r=a]

[eqn: left[ bold r cdot del times {bold v}^(i) right]_r=a =left[ bold r cdot del times {bold v} right]_r=a]

[eqn: left[(bold r cdot bold del )left({bold r cdot [[{rm bold f}_t ]]} over {r} right)-r del cdot [[ {rm bold f}_t ]] right]_r=a = r del cdot [[{{rm bold f}_t}^e (a,theta,phi) ]]]

[eqn: left[ bold r cdot del times [[{rmbold f}_t ]] right]_r=a = { }-bold r cdot del times [[{{rmbold f}_t}^e (a, theta, phi)]]]

where

[eqn: bold {rm f} = bold n cdot bold {rmT}]         [eqn: {rmbold f}_t = left( bold I -{bold rr} over r^2 right) cdot bold {rmf}]

[eqn: {rmbold f}^e = bold n cdot {rmbold T}^e]      [eqn: {{rmbold f}_t}^e = left( bold I -{bold rr} over r^2 right) cdot {rmbold f}^e]

[eqn: del]operator는 일반적인 3차원 gradient operator이며 [eqn: {{bold f}} (a,theta,phi)]은 경계 면에서의 함수 값을 나타낸다. 논리적으로, 수정된 경계 조건은 원 경계 조건에 대해 필요 조건으로 원 경계 조건을 완전히 대체 할 수는 없으나 Stoke's Equation 해의 유일성에 입각, 구해진 해가 우리가 구하는 해라고 말할 수 있다.

Stress Boundary Conditions

1) Tangential component of hydrodynamic surface force ft

Brenner가 제시한 수정된 경계 조건의 특징은 다루고 있는 양들이 모두 □방향의 미분 등의 복잡한 항을 가지고 있지 않다는 점이다. Stress boundary condition 을 살펴보며 이러한 사실을 확인 해 보자. Tangential component of hydrodynamic surface force ft는 Lamb's Solution을 이용, 주어진 경계 조건에서 다음과 같이 표현된다.

[eqn: left[(bold r cdot bold del )left({bold r cdot {bold {rm f}}_t} over {r} right)-r del cdot{bold{rmf}}_t right]_r=a]

[eqn: = mu SUM from { { n}=-inf} to inf left[ {n^2 (n+2)} over {mu (2n+3)}left(a over r right)^n p_n + {2n(n-1)(n+1)} over a^2 left(a over r right)^n phi_n right]]

[eqn: left[ bold r cdot del times {rm bold f}_t right] = mu SUM from { { n}=-inf} to inf left[ {n(n-1)(n+1)} over a left(a over r right)^n chi_n right]]

각 식의 우변은 [eqn: p_n ,{ }phi_n,{ } chi_n]등의 spherical harmonics로만 나타남을 확인 할 수 있다. 또한 [eqn: [[{rm bold f}_t ]]= {rm bold f}_t - {{rm bold f}_t}^(i)]을 이용하면 stress B.C.의 첫 번째 좌변 항과 두 번째 좌변 항이 차례로 계산된다.

2) Tangential component of electrical surface force fte

전기장에 의해 경계 면에 유도되는 힘은 경계 면에서의 전기장 분포를 알면 계산해 낼 수 있는데 [1]의 경우와 다른 점은 축 대칭형의 전기장이 아닌, 일반적인 3차원 전기장 하에서 유도되는 힘을 계산해 내야 한다는 것이다. 이를 위해서는 3차원 전기장에 대한 일반 형태를 표현 할 필요가 있으며 그 형태는 다음과 같다.

[eqn: bold hat {rm E} (bold x ') = {bold {rm E}} _o + bold {rm G} cdot bold x]

where  [eqn: {bold {rm E}}_0 = E_0 {bold e}_z] ,  [eqn: bold {rm G} = G [ (beta-1) bold e_x bold e_x -beta bold e_y bold e_y + bold e_z bold e_z ]],  [eqn: 0 <= beta <= 1 / 2]

Hat 표시는 time-independent part를 나타낸다. 이전 연구 [1]과의 차이는 전기장의 기울기를 나타내는 부분인 G가 [eqn: beta]라는 값을 이용해 좀 더 일반적인 경우를 표현 할 수 있다는 것이며, [eqn: beta]값이 1/2인 경우가 축 대칭형의 경우에 해당된다. 경계 면에서의 전기장의 분포는 [1]을 참고하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: bold{ rm E } = A_1 bold {rm E} _0 - A_2 (bold n cdot bold {rm E} _0 ) bold n +aB_1 bold n cdot bold {rm G} - aB_2 (bold n cdot bold {rm G} cdot bold n ) bold n]

[eqn: {bold{ rm E }}^(i) = A_1 bold {rm E} _0 bold n +aB_1 bold n cdot bold {rm G}]

where          [eqn: A_1 = Re left[ {3 e^{i omega t}} over { 2+Z} right]]        [eqn: A_2 = Re left[ {3(1-Z) e^{i omega t}} over { 2+Z} right]]

[eqn: B_1 = Re left[ {5e^{i omega t}} over { 3+2Z} right]]       [eqn: B_2 = Re left[ {5(1-Z) e^{i omega t}} over { 3+2Z} right]]

Re[ ]은 복소수의 실수 부를 나타내며 [eqn: Z= (sigma^(i) +i omega epsilon^(i) )/(sigma +i omega epsilon )]이다.

Translation을 고려하지 않은 유동장

전기장 하에서 액적에 작용하는 총 합력은 일반적으로 0이 되지 않는데 그 결과로 나오는 액적의 이동을 Dielectrophoresis라 한다. 이 Dielectrophoresis에 의한 액적 내, 외부의 3차원 유동장은 아직 그 일반해가 존재하지 않으며 앞으로 본 연구에서 그 답을 찾아 나갈 예정이다. Creeping flow 영역에서의 최종 유동장은 Translation을 고려하지 않은 유동장과 Translation에 의해 나타나는 유동장의 합으로 나타낼 수 있으며 이번 연구에서는 그 첫 번째 단계로 Translation을 고려하지 않은 유동장을 구했고, 그 형태는 다음과 같다.

1) Interior Flow

[eqn: v_r ^(i) = a over {mu^(i) + mu} left[1- left( r over a right)^2 right] Bigg[ 1 over 30 [2 E_2 -3E_3 ] P_1 - 1 over 70 [14E_1 +3E_4 -(2beta-1)^2 E_4 ] left( r over a right) P_2]

[eqn: - 6 over 35 [E_2 +E_3 ]left(r over a right)^2 P_3 - 1 over 126 [18E_4 +(2beta-1)^2 E_4 ] left( r over a right)^3 P_4]

[eqn: + left{ 1 over 70 E_4 left( r over a right) P_2 ^2 - 1 over 105 [E_2 +E_3 ] left( r over a right)^2 P_3 ^2 - 1 over 126 E_4 left( r over a right)^3 P_4 ^2 right}(2beta-1)cos 2 phi]

[eqn: - 1 over 3024 E_4 (2beta-1)^2 left( r over a right)^3 P_4 ^4 cos 4 phi Bigg]][eqn: v_theta ^(i) = a over {2(mu^(i) +mu)} Bigg[ 1 over 15 [2E_2 -3E_3 ]left[1-2left(r over a right)^2 right] partialP_1 over partialtheta - 4 over 35 [E_2 +E_3 ] left( r over a right)^2 left[ 1- 3 over 2 left( r over a right)^2 right] partialP_3 over partialtheta]

[eqn: - 1 over 70 [14E_1 +3E_4 -(2beta-1)^2 E_4 ]left( r over a right) left[ 1- 5 over 3 left( r over a right)^2 right] partialP_2 over partialtheta]

[eqn: - 1 over 252 [18E_4 + (2beta-1)^2 E_4 ]left( r over a right)^3 left[ 1- 7 over 5 left( r over a right)^2 right] partialP_4 over partialtheta]

[eqn: + left{ 1 over 70 E_4 left( r over a right) left[ 1- 5 over 3 left( r over a right)^2 right] {partial P_2 ^2 } over partialtheta + {(lambda +1 )} over {9(lambda +4 )} [-2E_2 +E_3 ]left( r over a right)^2 {P_2 ^2 } over sintheta]

[eqn: - 2 over 315 [ E_2 +E_3 ] left( r over a right)^2 left[ 1- 3 over 2 left( r over a right)^2 right] {partial P_3 ^2 } over partialtheta - 1 over 252 E_4 left( r over a right)^3 left[ 1- 7 over 5 left( r over a right)^2 right] {partial P_4 ^2 } over partialtheta right}(2beta-1) cos 2phi]

[eqn: - 1 over 6048 E_4 (2beta-1)^2 left( r over a right)^3 left[ 1- 7 over 5 left( r over a right)^2 left] {partial P_4 ^4 } over partialtheta cos 4phi Bigg]]

[eqn: v_phi ^(i) = { a(2beta -1)} over {(mu^(i) + mu)} left( r over a right) left[ left{ - 1 over 70 E_4 left[ 1- 5 over 3 left( r over a right)^2 right] {P_2 ^2 } over sintheta - {( lambda +1)} over { 36(lambda +4)} [-2E_2 +E_3 ] left( r over a right) {partial P_2 ^2 } over partialtheta]

[eqn: + 2 over 315 [E_2 +E_3 ] left( r over a right) left[ 1- 3 over 2 left( r over a right)^2 right] {P_3 ^2 } over sintheta + 1 over 252 E_4 left( r over a right)^2 left[ 1- 7 over 5 left( r over a right)^2 right] {P_4 ^2 } over sintheta right}sin2phi]

[eqn: + 1 over 3024 E_4 (2beta-1) left(r over a right)^2 left[ 1- 7 over 5 left( r over a right)^2 right] {P_4 ^4 } over sintheta sin4phi right]]

2) Exterior Flow

[eqn: v_r = a over {mu^(i) + mu} left( a over r right)left[1- left( a over r right)^2 right] Bigg[ - 1 over 30 [2 E_2 -3E_3 ] P_1 + 1 over 70 [14E_1 +3E_4 -(2beta-1)^2 E_4 ] left( a over r right) P_2]

[eqn: + 6 over 35 [E_2 +E_3 ]left(a over r right)^2 P_3 + 1 over 126 [18E_4 +(2beta-1)^2 E_4 ] left( a over r right)^3 P_4]

[eqn: - left{ 1 over 70 E_4 left( a over r right) P_2 ^2 - 1 over 105 [E_2 +E_3 ] left( a over r right)^2 P_3 ^2 - 1 over 126 E_4 left( a over r right)^3 P_4 ^2 right}(2beta-1)cos 2 phi]

[eqn: + 1 over 3024 E_4 (2beta-1)^2 left( a over r right)^3 P_4 ^4 cos 4 phi Bigg]]

[eqn: v_theta = a over {2(mu^(i) +mu)} Bigg[ - 1 over 30 [2E_2 -3E_3 ] left( a over r right)left[1+left(a over r right)^2 right] partialP_1 over partialtheta + 1 over 105 [14E_1 +3E_4 -(2beta-1)^2 E_4 ]left( a over r right)^4 partialP_2 over partialtheta]            [eqn: - 1 over 35 [E_2 +E_3 ] left( a over r right)^3 left[ 1- 3 left( a over r right)^2 right] partialP_3 over partialtheta - 1 over 630 [18E_4 + (2beta-1)^2 E_4 ]left( a over r right)^4 left[ 1- 2 left( a over r right)^2 right] partialP_4 over partialtheta]

[eqn: + left{- 1 over 105 E_4 left( a over r right)^4 {partial P_2 ^2 } over partialtheta + {(lambda +1 )} over {9(lambda +4 )} [-2E_2 +E_3 ]left( a over r right)^3 {P_2 ^2 } over sintheta]

[eqn: - 1 over 630 [ E_2 +E_3 ] left( a over r right)^3 left[ 1- 3 left( a over r right)^2 right] {partial P_3 ^2 } over partialtheta - 1 over 630 E_4 left( a over r right)^4 left[ 1- 2 left( a over r right)^2 right] {partial P_4 ^2 } over partialtheta right}(2beta-1) cos 2phi]

[eqn: - 1 over 15120 E_4 (2beta-1)^2 left( a over r right)^4 left[ 1- 2 left( a over r right)^2 left] {partial P_4 ^4 } over partialtheta cos 4phi Bigg]]

[eqn: v_phi = { a(2beta -1)} over {(mu^(i) + mu)} left( a over r right)^2 left[ left{ 1 over 105 E_4 left( a over r right)^2 {P_2 ^2 } over sintheta - {( lambda +1)} over { 36(lambda +4)} [-2E_2 +E_3 ] left( a over r right) {partial P_2 ^2 } over partialtheta]

[eqn: + 1 over 630 [E_2 +E_3 ] left( a over r right) left[ 1- 3 left( a over r right)^2 right] {P_3 ^2 } over sintheta + 1 over 630 E_4 left( a over r right)^2 left[ 1- 2 left( a over r right)^2 right] {P_4 ^2 } over sintheta right}sin2phi]

[eqn: + 1 over 7560 E_4 (2beta-1) left(a over r right)^2 left[ 1- 2left( a over r right)^2 right] {P_4 ^4 } over sintheta sin4phi right]]

where

[eqn: E_1 == epsilon E_0 ^2 A_1 T_A]     [eqn: E_2 == epsilon E_0 aGA_1 T_B]     [eqn: E_3 == epsilon E_0 aGB_1 T_A]     [eqn: E_4 == epsilon a^2 G^2 B_1 T_B]

[eqn: T_A = (1- epsilon^(i) / epsilon )A_1 -A_2]       [eqn: T_B = (1- epsilon^(i) / epsilon )B_1 -B_2]

[eqn: P_n]과 [eqn: P_n ^m]은 각각 Legendre polynomial과 Associated Legendre polynomial이다.

결론

비축대칭형 전기장에서 액적의 이동을 고려하지 않은 3차원 유동장을 구했으며 축 대칭형의 경우도 표현할 수 있었다. 앞으로 액적의 이동에 의해 생기는 유동장을 구해, 해석해를 완성시키고자 한다.

참고 문헌

1. S. M. Lee and D. J. Im and I. S. Kang "Circulating flows inside a drop under time-periodic nonuniform electric fileds" Phys. Fluids 12, 1899 (2000)

2. S. T. Kim and S. J. Karrila Microhydrodynamics Principles and Selected Applications (Butterworth-Heinemann, 1991)

3. H. Brenner "The Stokes resistance of a slightly deformed sphere" Chem. Eng. Sci. 19, 519 (1964)