유한요소법에 의한 폴리에틸렌발포용 코트-행어 다이 (Coat-hanger Die)에서 유변해석

양장수 ·권무현*·김극태

한남대학교 화학공학과, kaist 화화공학과*.

Application of FEM to PE Fluid Flow in Coat-Hanger Die

Chang-Soo Yang, Moo Hyun Kwon*, Geug-Tae Kim

Dept. of Chem. Eng., Hannam  University, Taejon 306-791, Korea

Dept. of Chem. Eng., KASIT, Taejon 305-701, Korea*

Ⅰ. 서론

다이에는 튜브나 시트를 만드는 원형다이와 플랭크를 만드는 평판다이가 있으며, 평판다이는 다기관의 모양에 따라 T-다이, 피쉬-테일 다이, 코트-헹어 다이로 구분할 수 있다.  균일한 발포제품을 생산하기 위해서는 다이 전체에 걸쳐 균일한 속도분포가 필수적인 데, 속도분포는 압력변화, 온도, 점도, 다이형태 등에 따라 영향를 받으므로, 이에 대한 연구가 필요하다.  따라서, 본 연구에서는 유한요소법에의한 유변흐름 해석을 통하여, 이들 공정 변수들이 속도 분포에 미치는 영향을 규명하여 다이 립에서의 균일한 유변흐름과 압력분포를 갖도록 다이의 최적 설계변수를 제공하고자 한다. 또한 이론적인 계산에 의하여, 다이의 직경에 미치는 설계변수에 대한 이론적인 계산결과를 제시한다.

Ⅱ. 이론

1. 방정식

정상상태에서 비압축성 유체의 보존식과 연속 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: □Ｚ·△Ｚ=１▽Ｔ／∇·□]                              (1)

[eqn: ▽·ＺＡ４]	(2)

[eqn: □C_P Ｚ·▽ＸＡｏ▽^2 Ｘ／□＞▽Ｚ]	(3)

지수법칙(Power-law)모델의 경우 응력은 다음 식으로 표시된다.

[eqn: □Ａｑ□□□^n-1 {}{}{}{}{}{}{}{} □□□□□_0]	(4)

[eqn: □Ａｑ□□_0 □^n-1 {}{}{}{}{}{}{}{} □_0 □□□□]	(5)

여기서 □은 다음과 같다.

[eqn: □ = ( {under □{}{}: {}{}under□} over 2 ) ^{1/2}]	(6)

[eqn: under □ = ▽underV + ▽underV^T]	(7)

□0는 지수법칙 모델이 적용되는 최소 전단속도이고, 이 값 이하에서는 일정값의 점도를 갖는다. 간단한 지수법칙 모델은 정확하지 않다.  Carreau-Yasuda 모델은 다음과 같다.

[eqn: □Ａｑ[1+(□□)^2 ]^N]	(8)

여기서 □는 상수, N은 (n-1)/2 이다. 위 식에서 consistency(m)는 일반적으로 온도의 함수이며, 많은 경우 다음과 같은 Arrhenius식으로 표시할 수 있다.

[eqn: ｑＡｑ_0 {}exp□１□，Ｘ１Ｘ_0 －□]	(9)

편의상, 다음의 무차원변수를 정의한다.

[eqn: ｜^ * = {｜} over {Ｌ}, {}｝^ * = {｝} over {Ｌ}, {}Ｚ^ * = {Ｚ} over {Ｌ}, {}Ｔ^ * = {Ｌ} over {ｑ_0 Ｙ_0} Ｔ,{} ##□^ * = {Ｌ} over {ｑ_0 Ｙ_0} □, {}Ｘ^ * = {Ｘ} over {T_0} {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}]	(10)

여기서 H 및 U0는 계의 특성길이 및 속도를 나타내며, T0는 기준 온도이다. 위의 변환을 이용하면 지배방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다(상첨자 *는 생략).

[eqn: Re(V·▽Ｚ－Ａ１▽Ｔ／▽·□]	(11)

[eqn: ▽·ＺＡ４]	(12)

[eqn: Ｔｉ Ｚ·▽ＸＡ▽^2 Ｘ／Ｆｖ□＞▽Ｚ]	(13)

위에서 무차원 수인 Reynolds수(Re), Peclect수(Pe) 및 Brinkman수(Br)는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: ＶｉＡ{□ＬＹ_0}over{ｑ_-0},{}ＴｉＡ{□C_p ＬＹ_0}over{ｏ},{}ＦｖＡ{ｑ_-0 Ｙ_0 ^2}over{ｏＸ-_0}]	(14)

고분자의 압출 유동에서 Re값이 작으므로 (11)식의 좌변은 무시할 수 있고, 이때 2차원 흐름에 대한 지배방정식은 다음과 같이 표시된다.

[eqn: 0=-{□Ｔ}over{□｜}+{□□_｜｜}over{□｜}+{□□_｜｝}over{□｝}]	(15)

[eqn: 0=-{□Ｔ}over{□｜}+{□□_｜｝}over{□｜}+{□□_｝｝}over{□｝}]	(16)

[eqn: {□U}over{□｜}+{□V}over{□｝}=0]	(17)

[eqn: Pｉ(U{□T}over{□｜}+V{□T}over{□｝})={□^2 T}over{□｜^2 }+{□^2 T}over{□｝^2 }+##Br[□_｜｜{□U}over{□｜}+□_｝｝{□V}over{□｝}+□_｜｝ ({□U}over{□｝}+{□V}over{□｜})]]	(18)

위 식에서, U는 x-방향의 속도, V는 y-방향의 속도를 나타낸다.

2. 다이 및 격자계

수치 해석은 격자생성법을 이용한 유한요소법을 사용하였으며, 모델링에 사용된 격자계는 inlet, outlet, wall, symmetry로 그림 1과 같다. 메쉬는 유한요소법을 사용하였다.

그림 . 다이 메쉬

3. 모델링에 사용한 물질

본 모델링에서 LDPE를 시험 물질로 사용하였으며, 물성값은 <표 1>과 같다. □0는 zero shear-rate viscosity이며, □0는 지수법칙이 적용되는 최소 전단속도이다. 이밖에 LDPE의 Cp값은 각각 3670 J/kg℃, □는 0.8732g/cm3이다.

<표 1> LDPE의 물성

	T0	m0	n	□0	□0	k	a
	K	Nsn/m2		Nsn/m2	1/s	J/m·s·K	1/K
LDPE	473	43,100	0.47	17,000	5.785	0.326	0.00928

Ⅲ. 결과 및 고찰

여섯 가지 다른 다이립 두께에 따른 영향은 그림 2에서와 같다.  여기서 n= 0.4, W= 275(mm), □= 85¸이다.  다이 립이 H= 1∼6mm로 증가할수록 다이 라디우스도 증가했다.  그림 3은 n= 0.4, W= 275(mm), □= 85¸이고, 다이 폭이 W= 100∼600(mm)으로 증가할수록 다기관의 라디우스도 증가하였다.  일정 점도, 압력에서 다이 폭이 작아짐에 따라 균일한 흐름을 나타낸다. 다이 폭을 일정하게 하고 속도 변화를 줄 때 속도가 커짐에 따라 균일한 흐름을 나타내었다.

위의 결과를 보듯이 최적의 다기관을 설계하기 위해서  다이립, 다이폭, 다기관의 각도,  원료, 공정 변수를 고려해야 한다. 위의 결과는 다이폭과 립, 다기관의 각도가 증가할수록 다기관의 라디우스는 증가하였다. 2와 3은  각각 다기관의 반경에 미치는 다이의 두께와 폭에 대한 이론적 계산의 결과이다.  그림 2는 다이 두께가 1mm에서 6mm으로 증가시켰을 때, 거의 선형적으로 비례하여 다기관의 반경은 증가함을 보여주고 있다.  균일한 유변흐름을 가지려면, 다이의 두께가 작을수록 다기관의 반경의 변화는 거의 없으나, 그림 두께가 증가함에 따라 다기관의 반경이 6mm의 경우는 1mm에 비하여 약 4배정도의 크기 변화로 증가한다.  그림 3에서는 다이의 폭이 100mm에서 600mm으로 증가시켰을 때, 다기관의 직경의 변화가 크지 않다, 즉 약 1.4배 정도 증가한다.

그림 2. 다이 두께에 따른 다기관 반경

그림 3. 다이 폭에 따른 다기관 반경

그림 5. 다이 폭에 따른 최대속도

그림 4. 다이 출구에서의 속도분포

다이의 폭이 증가함에 따라 다기관의 직경이 서서히 증가하며, 다기관의 임계반경 (다기관의 반경이 급격이 변하는 곳에서의 반경)은 다이의 중심에서의 거리가 중가함에 따라 서서히 증가한다.  그림 4는 유한요소법에의하여 계산한 폭  60mm에 대한 다이 출구에서의 속도 분포이며, 거의 포물선의 형태를 보여 주고 있다.   그림 5는 다이의 폭의 변화에 다른 최대 속도의 크기 변화를 나탄난 것으로, 다이의 폭이 증가함에 다라 비선형적으로 최대 속도가 감소함을 보여주고 있는 데, 이는 다이의 폭의 크기에 따른 점성력에 의한 유변흐름저항를 반영하기 때문이다.

참고문헌

[1]. C. Chen, P. Jen and F. S. Lai, Polym. Eng. & Sci., 37, 188 (1997).

[2]. Yutaka Mattsubara, Polym. Eng. & Sci., 20, 212 (1980).

[3]. Walter Michaeli, Extrusion Dies for Plastics & Rubber, (1992).

[4]. Daniel Klempner & Kurt C. Frisch, Handbook of Polymeric Foams &         Foam Technology.