Linear Quadratic Gaussian에 근거한 회분/반회분 공정의 품질 및 추적제어

진인식, 이광순, 최진훈, 이재형*

서강대학교 화학공학과, Purdue대학교 화학공학과*

Quality and Tracking Control of Batch and Semi-batch Process based on Linear Quadratic Gaussian

Insik Chin, Kwang Soon Lee, Jinhoon Choi, Jay H. Lee*

Department of Chemical Engineering, Sogang University,

Department of Chemical Engineering, Purdue University*

서론

일반적으로 회분/반회분 공정의 운전은 일정한 시간 구간 내에서 공정출력변수가 특정하게 주어진 기준 궤적을 따라가도록 하는 추적제어 하에서 이루어진다. 또한 회분/반회분은 공정의 품질변수는 연속식 공정의 그것과는 달리 한 회분의 운전이 끝난 후에야 측정이 가능하다는 특징이 있으며 간접적인 품질변수의 모니터링을 위하여 품질변수와 비교적 강한 상관관계를 갖는 변수를 측정하기도 하는데 이를 이차변수라고 부르며 이와 같은 이차변수에 대한 제어는 제어전략에서 고려하지 않는 것이 일반적이다. 본 연구에서는 공정출력변수, 이차변수 그리고 입력변수와 품질변수간의 상관관계를 이용하여 품질변수에 대한 추론제어기법을 포함하는 LQG 방법(QBLQG)을 제안하였으며 수치예를 통하여 그 성능을 검증하였다.

Linear Quadratic Gaussian에 근거한 제어기의 설계

먼저 회분/반회분 공정의 공정출력변수에 대한 시변 선형 상태공간 모델을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: x_{k}(t+1) &=& A^{y}(t)x_{k}(t)+B^{y}(t)u_{k}(t)+v_{k}(t)# y_{k}(t) &=& C^{y}(t)x_{k}(t)+w_{k}(t)]

식 1로부터 각 변수의 회분간 차이에 대한 상태공간 모델을 다음과 같이 얻어낼 수 있다.

[eqn: x_{k}^{y}(t+1) &=& A^{y}(t)x_{k}^{y}(t)+B^{y}(t)Deltau_{k}(t)+v_{k}^{y}(t)# Delta y_{k}(t) &=& C^{y}(t)x_{k}^{y}(t)+w_{k}^{y}(t)]

또한 이차변수에 대해서도 같은 방법으로 모델을 얻어낼 수 있다. 본 논문에서 첨자 s는 이차변수를 첨자 y는 공정출력변수를 나타낸다.

그리고 품질변수의 목표치에서 크게 벗어나지 않은 영역에서는 각 회분간 품질 변수의 차이는 공정출력변수, 이차변수 그리고 입력변수의 회분간 차이값과의 선형 Regression 모델에 의해 다음과 같이 표현될 수 있다[1].

[eqn: Delta q_{k}=SUM_{i=1}^{N}d_{1}(i)Delta y_{k}(i)+SUM_{i=1}^{N}d_{2}(i)Delta s_{k}(i)+SUM_{i=0}^{N-1}d_{3}(i)Delta u_{k}(i)]

식 3으로 주어진 선형 Regression 관계식으로부터 품질변수의 회분간 차이에 대한 상태공간 모델을 얻기 위해 우선 다음과 같이 정의된 적분 상태 z를 도입한다.

[eqn: z_{k}(t) == SUM_{i=1}^{t}d_{1}(i)Delta y_{k}(i)+SUM_{t=1}^{t}d_{2}(i)Delta s_{k}(i)+SUM_{i=0}^{t-1}d_{3}(i)Delta u_{k}(i)]

식 4로 정의된 z의 시간에 따른 관계식은 식 5와 같이 얻어진다.

[eqn: z_{k}(t+1)=z_{k}(t)+A_{1}^{q}(t)x_{k}^{y}(t)+A_{2}^{q}(t)x_{k}^{s}(t)+B^{q}(t)Delta u_{k}(t)+v_{k}^{q}(t)]

여기서

[eqn: A_{1}^{q}(t)&=&d_{1}(t+1)C^{y}(t+1)A^{y}(t)# A_{2}^{q}(t)&=&d_{2}(t+1)C^{s}(t+1)A^{s}(t)# B^{q}(t)&=&d_{1}(t+1)C^{y}(t+1)B^{y}(t)+d_{2}(t+1)C^{s}(t+1)B^{s}(t)+d_{3}(t)]이다.

식 5로부터 현재 시간 t에서 예측한 품질변수의 현재회분과 이전 회분간의 차이값은 다음과 같이 표현된다.

[eqn: Deltaq_{k}(t)=z_{k}(t)+F^{y}(t)x_{k}^{y}(t)+F^{s}(t)x_{k}^{s}(t)]

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여기서[eqn: F^{y}(t)&=& LEFT [ MATRIX { { d_{1}(t+1)}& {d_{1}(t+2) }& {cdots } & {d_{1}(N)}} RIGHT ] LEFT [ MATRIX { { C^{y}(t+1)A^{y}(t)}# {C^{y}(t+2)A^{y}(t+1:t) }# {cdots } # {C^{y}(N)A^{y}(N-1:t)}} RIGHT ] # F^{s}(t)&=& LEFT [ MATRIX { { d_{2}(t+1)}& {d_{2}(t+2) }& {cdots } & {d_{2}(N)}} RIGHT ] LEFT [ MATRIX { { C^{s}(t+1)A^{s}(t)}# {C^{s}(t+2)A^{s}(t+1:t) }# {cdots } # {C^{s}(N)A^{s}(N-1:t)}} RIGHT ] # A^{y}(t+n:t)&=&A^{y}(t+n)A^{y}(t+n-1)cdots A^{y}(t)]이다.

공정출력변수, 이차변수 그리고 입력변수의 회분간 차이에 대한 각각의 상태공간 모델들은 다음과 같이 하나의 상태공간 모델로 합쳐질 수 있다.

[eqn: BMATRIX { {x_{k}^{y}(t+1) }# {x_{k}^{s}(t+1) }# { z_{k}(t+1)} } & =& BMATRIX { {A^{y}(t)}& {0}& {0}# {0}& {A^{s}(t)}& {0}# {A_{1}^{q}(t)}& {A_{2}^{q}(t)}& {I} } BMATRIX { {x_{k}^{y}(t)}# {x_{k}^{s}(t) }# { z_{k}(t)} } + BMATRIX { B^{y}(t) # B^{s}(t) # B^{q}(t) } Delta u_{k}(t)+BMATRIX { {v_{k}^{y}(t) }# {v_{k}^{s}(t) }# {v_{k}^{q}(t)}} # BMATRIX { Delta{y_{k}(t) }# {Deltas_{k}(t) }# { Delta q_{k}(t)} }&=& BMATRIX { {C^{y}(t)}& {0}& {0}# {0}& {C^{s}(t)}& {0}# {F^{y}(t)}& {F^{s}(t)}& {I} } BMATRIX { x_{k}^{y}(t)# x_{k}^{s}(t)# z_{k}(t) } +BMATRIX { w_{k}^{y}(t) # w_{k}^{y}(t)# w_{k}^{q} (t) }]

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여기서 [eqn: v_{k}^{q}(t)&=&d_{1}(t+1)C^{y}(t+1)v_{k}^{y}(t)+d_{2}(t+1)C^{s}(t+1)v_{k}^{s}(t)# w_{k}^{q}(t)&=&F_{1}(t)w_{k}^{y}(t)+F_{2}(t)w_{k}^{s}(t)]이다.

이제 회분/반회분 공정의 품질 및 추적제어가 통합된 LQG 제어기의 설계를 위하여 목적함수를 다음과 같이 구성한다.

[eqn: E& LEFT{{1}over{2}LEFT[bold{C}(N)bold{x}_{k}(N)-bold{r}_{k}(N) RIGHT]^{T} bold{M}LEFT[bold{C}(N)bold{x}_{k}(N)-bold{r}_{k}(N) RIGHT]^{T} # &+{1}over{2}SUM_{t=0}^{N-1} LEFT[ (bold{C}(t)bold{x}_{k}(t)-bold{r}_{k}(t))^{T}bold{Q} (bold{C}(t)bold{x}_{k}(t)-bold{r}_{k}(t))#&+Delta u_{k}^{T}(t)bold {R}Delta u_{k}(t) RIGHT ]RIGHT }]

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여기서 [eqn: bold{M} &==& BMATRIX { {bold{M}}^{y}& {0}& {0}# {0}& {0}& {0}# {0}& {0}& {bold{M}}^{q} }, bold{Q} == BMATRIX { {bold{Q}}^{y}& {0}& {0}# {0}& {0}& {0}# {0}& {0}& {bold{Q}}^{q} }, bold{A}(t)&==& BMATRIX { {A^{y}(t)}& {0}& {0}# {0}& {A^{s}(t)}& {0}# {A_{1}^{q}(t)}& {A_{2}^{s}(t)}& {I} },]

[eqn: bold{C}(t) ==BMATRIX{B^{y}(t)#B^{s}(t)#B^{q}(t)}, bold{C}(t)== BMATRIX { {C^{y}(t)}& {0}& {0}# {0}& {C^{s}(t)}& {0}# {F^{y}(t)}& {F^{s}(t)}& {I} }, {bold{r}}_{k}(t)=BMATRIX{ y_{ref}(t) - y_{k-1}(t)# 0#q_ref - q_{k-1} }]이다.

식 8로 주어진 문제는 표준적인 형태의 LQG Servo 문제로서 쉽게 수학적인 해를 구할 수가 있으며 다음과 같은 형태의 해를 갖는다.

[eqn: Delta u_{k}(t) = -{bold{K}}_{fb}(t){bold{x}}_{k}(t)+{bold{K}}_{ff}(t){bold{b}}_{k}(t)]

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여기서

[eqn: {bold{K}}_{fb}(t)&=& LEFT [ {bold{B}}^T (t)bold{S}(t+1)bold{B}(t) +bold{R} RIGHT ]^{-1}{bold{B}}^T (t)bold{S}(t+1){bold{A}}(t) # {bold{K}}_{ff}(t)&=&LEFT [ {bold{B}}^T (t)bold{S}(t+1){bold{B}}(t) +bold{R} RIGHT ]^{-1}{bold{B}}^T (t)# bold{S}(t)&=&{bold{A}}^T (t) LEFT [ bold{S}(t+1)-bold{S}(t+1)bold{B}(t) {bold{K}}_{ff}(t)bold{S}(t+1)RIGHT ] bold{A} (t) #&&+{bold{C}}^T (t) bold{Q}bold{C} (t)# {bold{b}}_{k}(t)&=&{bold{A}}^T (t) LEFT [ I-bold{S}(t+1)bold{B}(t) {bold{K}}_{ff}(t)RIGHT ]{bold{b}}_{k}(t+1) #&&+{bold{C}}^T (t) bold{Q}{bold{r}}_{k} (t)] 이다.

또한, 품질제어가 결합된 회분/반회분 공정의 모델 예측 제어(QB-Model Predictive Control)를 위하여 매 샘플링 시간마다 다음과 같은 목적함수를 구성하였다.

[eqn: {min} atop {Delta u_{k}(cdot) } LEFT[ SUM_{i=1}^{N-t}DLINE r_{k}^{y}(t+i)-Delta y_{k}(t+i)DLINE_{bold {Q}^{y}}+ SUM_{i=0}^{t}DLINE Delta u_{k}(t+i-1)DLINE_{bold {R}}# +DLINE r_{k}^{q}(t+i)-Delta q_{k}(t)DLINE_{bold {Q}^{y}} RIGHT ]]

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수치 예제

다음과 같은 발열, 직□병렬 반응이 일어나는 반회분 반응기를 고려하였다.

[eqn: A+B ~{ k_1} atop { -> } ~C# B+C ~{ k_2} atop { -> } ~D]

초기에 반응기 내부에는 반응물 A가 있고 이를 일정온도까지 가열한 후 t=30 min 부터 B가 유입되며 A와  반응을 일으켜 제품 C가 생성된다. 그러나 생성물 C는 B와 추가의 반응을 일으켜 원하지 않는 생성물 D를 생성시킨다. 이 반응기에서는 쟈킷 온도 뿐 아니라 B의 유입 속도도 함께 조작할 수 있는 것을 가정하였으며 추가의 입력 여유도가 있어 완전한 품질 제어도 수행할 수 있는 조건을 갖추고 있다. 반응기 모델은 다음과 같다.

(자세한 parameter값들은 http://procd9.sogang.ac.kr 참조)

[eqn: {d(VT)}over{dt} &=&-{UA}over{rho C_P}(T-T_{j})+Q_{B}T_{B}- {V DeltaH_{1}}over{rho C_P}k_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}# &&-{V DeltaH_{2}}over{rho C_P}k_{20}e^{-E_{2}/RT}C_{B}C_{C},~T(0)=T_I # {d(VC_{A})}over{dt}&=&-Vk_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}, ~C_{A}(0)=C_{AI}# {d(VC_{B})}over{dt}&=&C_{BF}Q_{B} -Vk_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}-Vk_{20}e^{-E_{2}/RT}C_{B}C_{C}, ~C_{B}(0)=0# {d(VC_{C})}over{dt}&=&Vk_{10}e^{-E_{1}/RT}C_{A}C_{B}- Vk_{20}e^{-E_{2}/RT}C_{B}C_C , ~C_C (0)=0# {dV}over{dt}&=&Q_B , Q_{B}(t)= LEFT { MATRIX { 0 ~~~~~for~ t<31 # Q_B (t) ~for~ t>= 31 } RIGHT.]

□ 공정 상황 및 제어 조건

□ 제어 입력 : Tj(t), FB(t),  피제어 공정 변수: T(t),

이차 측정 변수:  C_A(t),  품질 변수: NC(t_f)

□ 총 회분 운전 구간 : tf =100 min,  제어 주기: 1 min,

이차 변수 측정 주기: 10 min

□ 제어 목표

□ NC의 최종치를 42(mol)에 유지.

□ T(t)가 주어진 궤적을 추적하도록 함.

현재 정상적인 상태에서는 반응기로 유입되는 반응물 B의 농도가 0.95(mol/l)로 유지되다가 외란으로서 B의 농도가 0.9로 감소한 경우(유량은 일정하게 유지)에 대하여 제안한 제어기와 기존의 추적 제어기를 각각 적용하여 전산모사를 수행하였으며 결과는 그림에 나타내었다.

참고 문헌

1. Russell, S.; Kesavan, P.; Lee, J. H.; Ogunnaike, B. Recursive Data-based Prediction and Control of Product Quality. AIChE J. 1998, 44, 2442.

Acknowledgement

본 연구는 포항공과대학교 공정산업의 지능자동화 연구센터를 통한 한국과학재단의 우수연구센터 지원금에 의한 것입니다.