최적화 기법에 의한 냉각수 열교환망의 유량 조절

김진경, 이범석

경희대학교 화학공학과

Manipulation of Flow Rates in A Cooling Water Network

through Optimization Technique

Jin-Kyeong Kim, Bomsock Lee

Dept. of Chemical Engineering, Kyung Hee University

서론

열교환망은 각기 다른 냉각수 요구 유량을 갖는 여러 개의 열교환기가 하나의 네트워크로 연결되어 냉각수를 공급받는다. 일반적으로 화학 공장에서는 열교환망을 흐르는 냉각수 유량과 열교환기에서 요구하는 유량의 차를 최소화하기 위하여 각 열교환기 후미에 부착된 밸브를 조절한다. 이 때에 한 곳의 유량을 조절하면 같은 네트워크에 연결된 다른 열교환기들의 냉각수 유량도 변하게 된다.

본 연구는 열교환망에 연결된 모든 열교환기로 흐르는 냉각수의 유량을 조절하여 각 열교환기 냉각수 요구 유량에 최대한 만족시키는 것을 목적으로 한다. 이를 위하여 열교환기 후미에 부착되어진 밸브의 열림 정도, 밸브가 부착된 관의 직경 등을 조절 변수로 하고, 각 열교환기에서 요구하는 냉각수 유량과 실제 계산된 냉각수 유량의 차이를 최소화하는 최적화 모델을 개발하였다.

본론

1. 냉각수 유량의 예측

본 연구에서는 열교환기에 흐르는 냉각수의 유량을 예측하기 위하여, 관을 흐르는 유체의 유량과 수두의 관계를 표현한 실험식 중의 하나인 Hazen-Williams 식을 사용하였다. Hazen-Williams 식은 아래의 식 (1)과 같이 표현된다.

) Hammer and Mark, J., "Water and Wastewater Technology", John Wiley & Sons (1986), chap 4.

) Walski, T.M., Gessler, J. Sjostrom, J.W., "Water Distribution Systems : simulation and Sizing", Lewis (1990).

) Male, J.W. and Walski, T.M., "Water Distribution Systems", Lewis (1990).

[eqn: Q_ji~ = ~C_H ~ D_ji^2.63 ~ LEFT ( {DELTA H_ji} over {C·L_ji} RIGHT )^0.54~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)]

[eqn: where,~~~ Q_ji ~~:~ Node ~j~에서~ i로~ 흐르는~ 냉각수 ~유량 ~[m^3 /s]]

[eqn: C_H ~~:~ 파이프~특성~상수]

[eqn: D_ji ~~:~Node ~j~와 ~i~간의 ~파이프~직경~ [m]]

[eqn: DELTAH_ji ~:~Node~ j~와 ~i~간의~수두차~[m]]

[eqn: C ~~~~:~ 변환~상수]

[eqn: L_ji ~~~:~Node ~j~와~ i~간의 ~파이프~길이~ [m]]

node가 n개인 열교환망에서, 임의의 node i에는 주위에 직접 연결된 모든 node j로부터 냉각수가 유입 혹은 유출된다. 이에 대하여 물질 수지식을 세우면 아래의 식 (2)와 같이 표현된다.

) Hyungtak Lee, Bomsock Lee, and In-Beum Lee, "Analysis and operation of cooling water flows in a heat exchangers network", KJChE (1997)

[eqn: SUM from {{j}=1} to {n} Q_ji + Q_ext = 0~~~~~~~(i=1,…, n)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)]

여기서 [eqn: Q_ext]는 열교환망의 외부에서 유입 혹은 유출되는 냉각수의 유량을 의미한다.

위의 식(1)과 식(2)를 이용하여 각 node에 대한 물질 수지식을 세우면 이는 n개의 비선형 연립 방정식으로 나타내어진다. node i와 j를 연결하는 모든 관의 직경과 길이를 상수로 가정하고, 각 node에서의 수두를 변수로 하는 비선형 연립 방정식을 제약조건으로 하면, 제약조건을 모두 만족하는 각 node에서의 수두를 구할 수 있다. 이렇게 구해진 수두를 식(1)에 대입하면, node j에서 i로 흐르는 냉각수의 유량을 예측할 수 있게 된다.

2. 냉각수 유량 조절을 위한 최적화 모델 개발

열교환망을 흐르는 냉각수의 유량 조절을 위해서 밸브의 열림 정도에 의존하는 등가 길이[eqn: (L_e )]라는 개념을 적용하였다. 관의 등가길이는 실제 관의 길이[eqn: (L_real )]와 밸브 등가길이의 합으로 이루어지고, 밸브 등가길이[eqn: (L_v )]란 밸브의 열림 정도와 밸브가 연결된 관의 직경에 의존하여 결정되어지는 값으로, 아래의 식 (3)과 같이 표현될 수 있다.

) Ludwig, E. E., "Applied Process Design for Chemical and Petrochemical Plants volume 1", Gulf Publishing Co. (1977)

[eqn: L_v = a delta ^3 + b delta^2 + c delta + d ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)]

이 식에서 [eqn: delta]는 밸브의 열림 정도를 나타내고 a, b, c, d는 밸브의 종류와 직경에 따른 상수이다. 여러 직경의 파이프에 대한 게이트 밸브에서의 상수 a, b, c, d값은 아래의 그림 1에서 구할 수 있다.

그림  게이트 밸브에서의 밸브 등가 길이와 밸브 열림 정도의 관계

관직경 (m)	a × 10-6	b	c	d
0.102 (○)	5.3627	0.00306	0.64510	18.55191
0.154 (■)	1.4410	0.00128	0.41775	19.11229
0.212 (△)	0.6187	0.00073	0.31470	19.26600
0.265 (●)	0.2995	0.00045	0.24776	19.22704

열교환망을 흐르는 냉각수의 유량을 각 열교환기의 냉각수 요구 유량에 최적화 하기 위한 첫 번째 단계로 밸브가 부착된 관의 등가길이를 변화시키면서 제약 조건을 만족하는 각 node의 수두를 구한다. 두 번째 단계에서는 구해진 수두를 이용하여 각 열교환기로 흐르는 냉각수의 유량을 예측한다. 마지막 단계에서는 예측되어진 유량과 각 열교환기가 요구하는 유량을 비교한다.

이러한 과정에 대한 최적화 모델을 개발하기 위하여, 먼저 조절변수는 열교환기 후미의 관에 대한 등가길이와 각 node에서의 수두로 하였고, 제약조건으로는 식 (1)과 식 (2)에 의해서 표현되는 비선형 연립 방정식을 두었다. 그리고 목적함수는 열교환기의 냉각수 요구 유량과 제약조건을 만족시키는 각 node의 수두에 의해 구해지는 실제 냉각수 유량의 차이를 함수로 표현하였다. 식 (4)는 본 연구에서 사용한 목적함수를 나타낸다.

[eqn: SUM from {(j,i) IN S} {LEFT | ~ Q_ji - Q_ji ^D ~ RIGHT | }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)]

[eqn: where, ~(j,i) IN S ~:~ 열교환기의 ~앞,~ 뒤를 ~나타내는 ~node~ j, ~i~]

[eqn: Q_ji ,~(j,i) IN S ~:~ 각~열교환기를~흐르는~냉각수~유량]

[eqn: Q_ji^D ,~(j,i) IN S~:~각~열교환기에~요구되는 ~냉각수~유량]

그리고 최적화 모델은 목적함수를 최소화하는 각 열교환기 후미의 등가길이를 구하여 밸브의 열림 정도를 결정할 수 있도록 하였다.

예제

그림 2와 같이 10개의 열교환기가 하나의 네트워크로 연결되어 냉각수를 공급받는 공정이 있다. 이 공정에서 냉각수 공급펌프(node 1)를 통하여 유입되는 냉각수의 유량은 89.5 l/s로 일정하고, 냉각탑으로 유출되는 node 40에서의 수두는 항상 103 m를 유지한다. 표 1에서는 게이트 밸브가 부착된 열교환기 후미의 파이프 직경과 길이를 나타내고 있다. 또한 밸브의 조절 범위는 실제 공정에서 많이 적용하는 25∼75% closed의 범위로 이루어진다.

표 1 각 열교환기 후미의 관의 직경과 길이

NCES	Pipe
	D (m)	Lreal (m)	Le 범위 (m)
12-39	0.025	21.6	22.7 ∼ 42.4
14-35	0.089	25.0	28.8 ∼ 101.2
16-35	0.154	68.0	74.1 ∼ 197.5
18-37	0.089	58.0	61.8 ∼ 134.2
20-34	0.032	9.6	11.0 ∼ 38.6
22-33	0.305	11.6	23.8 ∼ 267.7
24-32	0.032	16.7	18.1 ∼ 45.7
26-31	0.076	15.3	18.6 ∼ 79.3
28-31	0.381	21.3	36.5 ∼ 367.9
30-36	0.051	96.5	98.6 ∼ 141.0

그림  열교환기 네트워크

본 예제에서 열교환기로 흐르는 냉각수의 유량을 각 열교환기의 냉각수 요구 유량과 맞추기 위해서 각 node에서의 수두와 열교환기 후미의 등가길이를 조절변수로 하여 물질 수지식에 의한 제약조건을 설정하였다. 그리고 목적함수인 식 (4)를 최소화하는 최적화 모델을 개발하였다. 이렇게 개발되어진 최적화 모델을 비선형 최적화 문제에 널리 사용되는 상용 프로그램인 GAMS/MINOS로 해석하여 각 변수들의 최적값을 구하였다. 이 때에 등가길이의 변화 범위는 밸브의 열림 정도를 25∼75% closed의 범위에서 조작이 가능하도록 제한을 하였다. 만약 등가길이 변화 범위에서 값을 구할 수 없을 경우에는, 밸브가 부착된 관의 직경을 변화시켜 새로운 최적 등가길이를 구하였다.

본 예제에서 구한 각 열교환기 후미의 관의 직경과 밸브 열림 정도의 초기 값과 최적화 결과 값을 비교하여 표 2에 나타내었다. 또한 최적화 후 실제 흐르는 냉각수의 유량과 각 열교환기의 냉각수 요구 유량을 표 3에 나타내었다.

표 2 밸브의 조작과 관 직경의 변경

NCES	초기 상태		최적화 후의 상태
	D (m)	Valve state	D (m)	Valve state
12-39	0.025	25% closed	-	37% closed
14-35	0.089	〃	-	65% 〃
16-35	0.154	〃	0.089	68% 〃
18-37	0.089	〃	-	73% 〃
20-34	0.032	〃	-	74.5% 〃
22-33	0.305	〃	-	75% 〃
24-32	0.032	〃	-	75% 〃
26-31	0.076	〃	-	50.5% 〃
28-31	0.381	〃	-	75% 〃
30-36	0.053	〃	0.038	64% 〃

표 3 각 열교환기의 요구 유량과 조절 결과

열교환기	Flow rates, Q (l/s)
	요구값	최적화 결과
A	1.9	1.9
B	23.0	23.0
C	20.5	20.5
D	20.5	20.5
E	1.4	1.4
F	1.0	1.1
G	0.8	0.9
H	7.8	7.8
I	10.0	10.1
J	2.2	2.2

결과 및 토론

서로 다른 냉각수 요구 유량을 갖는 여러 개의 열교환기를 하나의 네트워크로 연결하여 냉각수를 공급할 때, 각 열교환기로 유입되는 냉각수의 유량을 그 열교환기가 요구하는 유량에 최대한 근접시키기 위해서 밸브의 조절에 의존하는 등가길이를 이용하여 각 열교환기 후미의 밸브 열림 정도를 결정하는 최적화 모델을 개발하고, 비선형 최적화 모델의 해석에 널리 이용되고있는 최적화 상용 프로그램인 GAMS/MINOS를 사용하여 최적의 밸브 열림 정도를 결정하였다.

본 연구는 앞으로 대형 열교환망의 경우 최적화 모델에 입력되는 방대한 양의 자료에 대한 신뢰도를 높이는 문제를 해결하려 한다. 또한 밸브의 조절 범위를 만족시키기 위하여 관의 직경을 변경해야 하는 경우, 효과적으로 관의 직경을 변경하는 방법을 연구할 것이다.

감사의 글

본 연구를 위해 재정적인 지원을 해 주신 한국과학재단(과제번호 1999 - 1 - 307 - 002 - 3)에 감사드립니다.

참고문헌