전기장에 의해 유도된 구형 액적 내부의 와류에 의한

비선형 교반과 물질 전달 효율 증대에 대한 연구

임 도진, 강 인석

포항 공과 대학교 화학공학과 및 기계, 산업공학부

Chaotic Mixing and mass transfer enhancement due to a circulating flow

inside a spherical drop generated by the electric field

D.J. Im, I.S. Kang

Dept. of Chem. Eng. & Division of Mech. and Indust. Eng. ,Postech

서론

서로 섞이지 않고 전기를 통하지 않는 두 액체가 하나는 bulk phase로 또 다른 하나는 drop의 형태로 존재하는 시스템에 전기장을 가하면 전기적인 특성(electrical permittivity) 차이 때문에 drop의 계면에 tangential stress가 걸려, drop 내부와 외부에 유동이 생기게 된다. 이렇게 생성된 유동은 drop 내에 존재하는 물질을 추출하는 경우에 유용하게 이용될 수 있을 것이다. 하지만 어떤 종류의 전기장을 어떤 형태로 가해주어야 주어진 시스템의 추출 효율을 극대화 할 수 있는 가에 대한 근거가 전무한 상태이다. 현재 임의의 전기장 하에서 drop 내, 외부의 유동은 축 대칭형의 경우, 그 해석적 해가 존재하며[1] drop 내부에 존재하는 한 particle의 경로나 poincare map을 살펴보면 특정한 조건 하에서 매우 비 선형적인 특성을 보이는 것으로 알려져 있고, 이러한 결과가 추출 효율 극대화에 대한 하나의 길잡이가 될 수 있을 것으로 보인다. 하지만 이렇게 particle의 경로를 살피거나 poincare map을 이용한 분석은 자칫 잘못된 해석을 나을 수 있으며 이러한 해석은 또한 추출 효율에 대한 정량적인 정보를 하나도 주지 못한다는 결점이 있다.[2] 그래서 본 연구에서는 이러한 정성적인 분석들과 함께, 앞에서 구해진 해석적 해와 convective-diffusive transport equation을 이용해 실제 추출 효율에 대한 정량적인 수치 해석을 병행하였다. Drop 내부의 diffusivity가 주어진 경우, 추출 효율에 영향을 주는 것은 drop 내, 외부의 유동일 것이며, 이 유동에 영향을 줄 수 있는 것은 여러 가지가 있을 수 있다. 하지만 물리적 상수 등 system이 어느 정도 정의되어 있는 경우라면 유동에 영향을 줄 수 있는 것은 가해주는 전기장의 형태나 크기, 진동수 등이 있을 것이다. 그 중에서도 진동수에 따른 변화는 비 선형 교반 문제에서 자주 언급되는 주제 중의 하나이다.[1],[3] drop 내부의 초기 농도를 균일하게 1로 놓고, 가해주는 교류 전기장의 진동수를 변화 시켜가며 시간에 따른 평균 농도 변화를 관찰하는 방법으로 추출 효율에 대한 optimal frequency를 찾아보았다. Drop 내, 외부의 전기적 물성치는 uniform하고 계면을 제외한 medium에는 free charge가 존재하지 않는다고 가정했으며 Stokes flow를 가정했다. transport equation의 수치 해석은 ADI(Alternating Direction Implicit method)를 사용했으며 Gaussian Quadrature를 이용해 평균 농도를 계산했고, poincare map과 particle trajectory를 그릴 때는 Runge-Kutta method를 이용했다.

시간 주기적 비 균일 전기장 하의 drop 내, 외부의 유동

Dielectric constant가 서로 다른 두 물질이 공존하는 시스템에 전기장을 가하면 전기장의 형태가 변하게 된다. 이는 dielectric 물질이, 전하량이 일정한 두 도체 판 사이에 위치할 때 두 도체 판 사이의 기전압을 낮추는 정도가 dielectric constant에 비례한다는 사실로 설명되며, 이러한 현상은 dielectric constant가 클수록 전기장을 끌어들이는(전기장 입장에서는 그 곳을 통해 통과하려하는) 경향이 강하다라고 직관적으로 이해할 수도 있다. drop 내, 외부의 유동은 drop 계면에서의 electrical tangential stress가 원인이며 이는 Maxwell stress tensor를 계산해 구할 수 있고, Maxwell stress tensor는 electric field 분포를 알면 구할 수 있다.[1] Electro static을 다룰 때는 electric field 자체보다는 electric potential을 이용하는 것이 일반적이며 drop 내, 외부의 electric potential [eqn: phi]는 다음의 equation과 boundary condition들을 만족한다.[1]

Governing Eqn.              [eqn: DEL ^2 hat phi =0]       [eqn: DEL ^2 hat phi _{i n} =0]

Far field condition        [eqn: hat phi -> hat phi _ INF = boldE_0 CDOT boldx + 1 over 2 boldx CDOT boldG CDOT boldx]   as  [eqn: r -> INF]

matching conditions         [eqn: epsilon boldn CDOT DEL hat phi - epsilon _{i n} boldn CDOT DEL hat phi _{i n} = hatsigma _f]

at the drop surface           [eqn: boldt CDOT DEL phi - boldt CDOT DEL phi _{i n} =0]

[eqn: sigma boldn CDOT DEL hat phi -sigma_{i n} boldn CDOT DEL hat phi_{i n} =-i omega hat sigma_f]

여기서 drop 중심으로부터의 위치 벡터를[eqn: boldx]라 하면 시간 주기적 비균일 전기장 [eqn: bold E (boldx , t)]는[eqn: bold E (boldx ,t) = R[bold hat E (boldx) e^{i omega t} ]](R[ ]은 complex variable의 real part, ^표시는 static value 임을 의미한다), [eqn: bold hat E = bold DEL hat phi]인 관계가 있으며 [eqn: bold G]는 drop 중심에서의 전기장의 기울기를 의미한다(즉, [eqn: boldG = bold{DEL hat E} |_x_0]). subscript in은 drop 내부의 물리량임을 나타내고 그것이 없는 것은 drop 외부의 값임을 의미한다.

축 대칭형의 creeping flow 문제에서 stream function [eqn: Psi]는 spherical coordinate에서 다음과 같은 governig equation을 만족하며 그 일반 해 또한 존재한다.[4]

Governing Eqn.     [eqn: L(L PSI ) =0]   where   [eqn: L == PARTIAL ^2 over PARTIALr^2 + {(1-eta^2 )} over r^2 PARTIAL ^2 over PARTIALeta^2]

General Soln.      [eqn: PSI = SUM from { { n}=1} to inf Q_n (eta) [F_n r^-n + G_n r^-n+2 +H_n r^n+1 +I_n r^n+3 ]]

where  [eqn: Q_n (eta) = INT _{ -1}^{ eta} P_n (eta) d eta]

[eqn: P_n (eta)]는 Legendre polynomial이고 Fn, Gn, Hn, In은 boundary condition을 이용해 구해야 하는 계수들이다. 위의 stream function을 구하는데 쓰이는 boundary condition중 drop 계면에서의 shear stress condition은 [eqn: [[ tau ]] = -[[tau^e ]]] ([eqn: [[ CDOT ]]]은 계면을 경계로 한 drop 내, 외부 값의 차이)이며 전기장의 영향은 바로 여기에서 나타난다. [eqn: tau^e]는 전기장이 주어진다면 [eqn: tau^e = boldt CDOT (boldn CDOT boldT ^e )]과 [eqn: bold T ^e =epsilon [boldEE - 1 over 2 E^2 boldI ]]의 관계식에서 구할 수 있고 여기서[eqn: bold T ^e]는 Maxwell stress tensor를 나타낸다.

Trasport Equation and Boundary Conditions

Drop내에 녹아 있는 물질의 농도는 다음의 dimensionless transport eqn.과 초기조건, 경계조건 등을 이용해 구할 수 있다.

Governing Eqn.          [eqn: □c over □t +boldv □bold□ c = 1 over Pe_,c □^2 c]    where  [eqn: Pe_,c ={U_c l_c} over D]

Initial Condition          [eqn: c =1]     at    [eqn: t=0]

Boundary Conditions     [eqn: {PARTIAL c} over {PARTIAL theta} =0]   at  [eqn: theta =0 ,{ } pi]

[eqn: c = finite]   at   [eqn: r=0]

[eqn: c = 0]       at   [eqn: r=1] (at a drop surface)

속도 벡터 [eqn: bold v]는 앞 절에서 구한 결과를 이용했다. Boundary condition중 r=0에서의 조건은 수치적으로 적용하기가 어렵고 대칭성을 이용할 수도 없기 때문에 농도 자체를 이용하는 대신 [eqn: Gamma == rc]라는 변수 치환을 이용해 이러한 문제를 해결하였다. drop의 계면에서 농도가 0이라는 조건은 주어진 문제의 characteristic velocity scale값이 일반적으로 상당히 크기 때문에(본 문제의 경우, 1mm의 drop에서 약 10cm/s) 적절한 가정이었으며 수치 오차를 줄이기 위해 r 방향으로의 mesh 간격을 [eqn: y=sqrt x] mapping을 사용해 표면에서 좀 더 촘촘하게 만들었다.

Optimal frequency and Poincare map

Pe,c가 442700인 경우 dimensionless frequency값이 0.019일 때가 optimal frequency인 것으로 나타났으며 그 결과는 Fig.1과 같다. 그림에 나타나지는 않았지만 frequency가 10000인 경우까지 추적해 본 결과 최종 농도는 진동수가 0.03이상에서는 단조 증가하는 것으로 나타났다. 0.019라는 수치는 dimensional frequency로 약 10Hz이며 물리적으로도 실현 가능하고 타당한 수치였다. Pe,c가 상당히 큰 값을 가졌음에도 불구하고 발산한다거나 하는 수치적인 문제는 생기지는 않았다. 이러한 수치적 안정성은 주어진 식이 wave eqn.에 가까운 형태를 보이지만 실제 계산되어지는 속도 성분의 값이 1보다도 작은 값을 가진다는 것에 기인하는 것 같다. 전기장이 물질 전달에 얼마나 영향을 주었는지 알아보기 위해 Fig.2와 같이 시간에 따른 농도의 변화를 전기장이 없을 때와 비교해 몇몇 진동수에서의 값들을 plot해 보았다.

Fig.3은 몇몇 진동수에서의 poincare map을 나타낸다. [eqn: omega = 0.1]에서 의 값을 제외하고는 모두 1000개의 점을 찍은 것이며 0.1의 경우는 하나의 contour에 1000개씩의 점이 찍힌 것이다.

결론

시간 주기적인 전기장 하에서 진동수에 따른 물질 전달 효율을 살펴본 결과 최적의 진동수가 존재함을 확인할 수 있었다. 몇몇 frequency(optimal frequency 포함)에서 poincare map을 살펴 본 결과, 비 선형의 정도가 추출 효율에 비교적 비례하게 나타나기는 하지만 Fig.3에서 볼 수 있듯이 poincare map만을 가지고는 정확한 정량 분석이 어렵다는 사실을 확인할 수 있었다.

참고 문헌

1. S. M. Lee and I. S. Kang "Three-dimensional analysis for steady-state shape and small amplitude oscillation of a bubble in uniform and nonuniform electric fields" J. Fluid Mech. 384, 59 (1999).

2. Michelle D. Bryden and Howard Brenner "Effect of laminar chaos on reaction and dispersion in eccentric annular flow" J. Fluid Mech. 325, 219 (1996)

3. B. S. Lee, I. S. Kang, H. C. Lim "Chaotic mixing and mass transfer enhancement by pulsatile laminar flow in an axisymmetric wavy channel" Int. J. Heat Mass Transfer 42 2571 (1999).

4. L. G. Leal, Laminar Flow and Convective Transport Processes; Scaling Principles and Asymptotic Analysis, (Butterworth-Heinemann, 1992).

Fig.1

Fig.2

Fig.3