밀도차이로 발생된 유체 경계층의 안정성해석

조은숙, 김효

서울시립대 화학공학과

Stability analysis of fluid interface by density difference

Eun Sook Cho, Hyo Kim

Dept. of Chemical Engineering, University of Seoul

서론

두 종류의 섞일 수 있는 유체가 밀도 차이에 의해 안정하게 층화될 때 두 층의 경계면을 밀도 경계면이라 한다. 따라서 이때의 높이에 따른 밀도 구조는 경계면을 중심으로 하여 매우 급격한 구조를 갖는다. 이러한 밀도 경계면은 탱크에 증류수를 천천히 펌핑하여 넣고 정치한 다음, 위에서 파이프를 바닥으로 연결하여 이를 통해 소금물을 천천히 주입함으로써 쉽게 만들 수 있다. 이러한 계는 매우 안정화되어 있어 바닥을 가열해 주어도 쉽게 층이 깨지지 않는다. 경계면을 통해 소금이 확산되고 열이 전도되어 두 층의 밀도가 같아질 때, 층은 파괴된다. 층이 파괴되기 전까지 경계면을 통한 소금과 열의 이동은 확산에 의해 지배되므로 이 때의 경계면은 특별히 □diffusive interface'라 명명한다. 이와 반대로 차가운 증류수 위에 따뜻한 소금물이 있어 층화가 되면 이때에는 경계면에 좁고 긴 convection cell들이 형성되는데, 이를 □salt finger' 혹은 □salt fountain'이라 명명한다. 그리고 이렇게 확산율이 다른 두 가지의 물질이 유체내에 불안정하게 구배되어 발생되는 대류를 이중확산대류(double-diffusive convection)이라 명명한다. 'Salt finger'도 매우 흥미로운 연구분야이나 본 연구에서는 먼저 말한 □diffusive interface'의 안정성 해석에 중점을 두고자한다.

이론

경계면의 안정성을 해석해 주기 위하여 경계면 안정도인 [eqn: R_rho]를 도입했다. 여기서 [eqn: R_rho]는 [eqn: { beta TRIANGLE S } over {alpha TRIANGLE T }]로 정의하는데 [eqn: alpha],[eqn: beta]는 각각 열 및 물질 팽창 계수이며,[eqn: TRIANGLE S],[eqn: TRIANGLE T]는 각각 계면의 용질 분율, 온도의 차이이다.

먼저 경계면을 통한 열의 이동을 알아보기 위하여 다음과 같은 가정을 하였다. 즉 경계면에서는 전도에 의해 열이 이동되며 각 층 내에서는 대류의 강도가 충분하여 온도 분포가 일정하다고 가정해 주었다. 이것을 좀더 확대하여 경계면에 얇은 고체 판의 완전한 전도체가 삽입되어서 경계면 사이에는 물질 전달이 없고 오로지 열전달만 있다고 하면 Nusselt수 [eqn: N u][eqn: (={{H} over {k_T TRIANGLE T/h}}], [eqn: k_T]는 열에 의한 분자 확산도, [eqn: h]는 층의 깊이,[eqn: H]는 경계면을 통한 열 선속을 나타낸다.)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: N u = c·R a ^{1/3}] .                                                  (1)

여기서 [eqn: c]는 비례 상수로서 0.085이며, [eqn: Ra][eqn: (=( {ga over kappanu }) TRIANGLE T~h^3 )]는 Rayleigh수로서 Pr와 Gr의 곱으로 표현된다. 여기서 g는 중력가속도, [eqn: alpha]는 단위 온도 당 부피 팽창 계수, [eqn: kappa]는 열전도도, [eqn: nu]는 동점도이다. 따라서 이론적인 [eqn: H]는 다음과 같다.

[eqn: H=ck_T ({g alpha} over {kappa nu})^{1/3}( TRIANGLE T)^ {4/3}].                                         (2)

실제 실험에서는 경계면이 움직이고 소금이 경계면을 통해 이동이 되므로, Nusselt수는 다음과 같은 인자들의 함수로 표현된다.

[eqn: N u = ( R a ,~ R_rho , ~ k_S / k_T ~)],

여기서 [eqn: k_S]는 소금에 대한 분자 확산도이다.

[eqn: N u]수가 [eqn: Ra]수에 의존하고, 분자확산도의 비에는 무관하다고 하면(실제 이 실험에서 거의 일정함), [eqn: N u]수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: N u=f_1 (R_rho ) Ra^{1/3}}={{H} over {k_T TRIANGLE T/h}}].                                  (3)

위와 같은 형태로 소금의 이동을 고려할 때 [eqn: N u]수는 다음과 같이 씌어질 수 있다.

[eqn: N u=f_2 (R_rho ) Ra^{1/3}={{ F_S} over {k_S TRIANGLE S/h}}].                                 (4)

[eqn: F_S]는 경계면을 통한 소금 선속이다.

식(3)과 (4)로부터 층의 깊이[eqn: h]에 무관한 식을 얻을 수 있다.

[eqn: {{F s} over {TRIANGLE S}} CDOT {{TRIANGLE T} over {H}} ={k_S over k_T}f_3 (R_rho ) = { K_S} over {K_T }]                                 (6)

여기서 [eqn: {F s} over {TRIANGLE S}=K_S]로 그리고[eqn: {H} over {TRIANGLE T}=K_T]로 해서 각각 소금과 열에 대한 난류 이동 계수라고 명칭한다. 이때 [eqn: F_S]와 [eqn: H]는 윗층의 농도와 온도변화로 추론할 수 있으며 또한 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]는 온도와 농도의 함수라는 것을 고려해 준다.

실험을 통해 [eqn: R_rho]와 [eqn: { K_S} over {K_T }]의 관계 및 포텐셜 에너지 비인 [eqn: {beta F_S } over {alpha H }]와의 관계를 모색한다.

실험

내경이 30cm이고 옆면이 단열 된 탱크에 증류수와 소금물을 각각 3□씩 넣고 층화시키고 바닥을 가열해주었는데 이때의 가열방식은 constant temperature로 175℃로 고정해 주었다. 소금물의 농도는 질량 분율로 0.27%부터 0.7%까지 변화시켜 주었다. 양 층의 온도와 농도는 1초마다 측정하여주었다. 그리고 기존의 온도 및 농도 측정 장치를 업그레이드하여 매우 정밀하게 측정이 가능하도록 하였다.

결과 및 고찰

Fig. 1은 0.4%의 소금물과 증류수를 각각 3□씩 층화시켰을 때 깊이에 따른 밀도 분포로서 경계면을 중심으로 급격한 밀도구조를 갖음을 알 수 있다. 이는 매우 초기 상태로서 Fig. 2와 3에서 알 수 있듯이 온도가 아닌 농도 구배에 의해 밀도차이를 유발한다.

Fig. 2는 시간에 따른 양 층의 농도변화를 그리고 Fig. 3은 온도변화를 나타내는데 각 그래프의 기울기를 보면 온도 상승속도가 농도가 변하는 속도에 비해 매우 빠름을 알 수 있다. 이로서 경계면을 통한 열의 이동이 소금의 이동보다 매우 활발하다는 것을 판단 할 수 있다. 이때 온도와 농도는 각층의 중간지점에서의 값으로 해 주었는데 중간지점의 값이 대표값이라 가정해주었고 실제로 예비실험에서 각 층내에서의 온도와 농도분포는 거의 일정함을 알 수 있었다.

Fig. 4는 Fig. 2와 3의 데이터로부터 계산해준 것으로 각 층의 시간에 따른 밀도변화를 나타낸다. 초기에 급격한 밀도차이가 시간이 가면서 줄어들다가 마침내 층이 합쳐지면서 밀도는 같아짐을 보였다.

Fig. 5는 위의 데이터를 기초로 하여  [eqn: R_rho]와 [eqn: {beta F_S } over {alpha H }]와 관계를 나타낸 것으로 [eqn: R_rho]가 2보다 클 때 즉 경계면이 매우 안정할 때 [eqn: {beta F_S } over {alpha H }]는 분산이 다소 심하긴 하나 0.01로 일정함을 나타낸다. 그리고 [eqn: R_rho]가 1과 2사이에서는 [eqn: {beta F_S } over {alpha H }]가 0.1로 접근함을 알 수 있다. 이는 계면이 안정할 때 열의 이동이 소금의 이동보다 100배정도 빠르다는 것을 의미하며 둘의 확산비하고도 일치하는 숫자이다. 실험과 위의 분석을 통해 계면이 안정할 때 경계면을 통한 열과 소금의 이동은 이중확산대류에 의해 지배되며 불안정할때는 강한 대류에 의해 소금과 열의 이동이 매우 활발해짐을 알 수 있었다.

Fig. 6은 [eqn: R_rho]와 [eqn: { K_S} over {K_T }]의 관계를 보이며 이 역시 경계면이 매우 안정할 때인 [eqn: R_rho]가 2보다 클 때, [eqn: { K_S} over {K_T }]는 상대적으로 [eqn: R_rho]가 2보다 작을 때보다 값이 매우 작으며, [eqn: R_rho]가 증가할수록 점차로 [eqn: { K_S} over {K_T }]도 감소함을 나타내어 계면이 안정할 때 소금의 이동분율이 매우 낮음을 알 수 있다. Fig. 6으로부터 다시 한번 Fig. 5의 결과를 확인할 수 있었다.

이번 연구에서는 온도와 농도를 매우 정확하게 측정하여 [eqn: R_rho]와 [eqn: { K_S} over {K_T }]의 관계 및 [eqn: {beta F_S } over {alpha H }]와의 관계를 도출하고 경계면 안정성을 해석했다는 점에서 의의가 있다고 할 수 있다.

참고문헌

1. Turner, J. S., "The Coupled Turbulent Transports of Salt and Heat across a  Sharp Density Interface," Int. J. Heat Mass Transfer, 8, 759(1965).

2. Crapper, P. F., "Measurements across a Diffusive Interface," Deep-Sea       Research, 22, 537(1975).

3. Kim, Y. S. and Cho, E. S., "A Study on the Double Diffusivities of Heat  and Mass across a Sharp Density Interface," Theories and Applications    of Chem. Eng., 4(2), 4117(1998).

4. S. Chandrasekhar. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Clarendon Press, Oxford (1961).

Fig. 1. Density profile

Fig. 2. The concentration variations with time when 3□, 0.4%  salt solution and 3□, fresh water were stratified.

Fig. 3. The temperature variations with time when 3□, 0.4%  salt solution and 3□, fresh water were stratified.

Fig. 4. The density variations with time when 3□, 0.4%  salt solution and 3□, fresh water were stratified.

Fig. 5. □FS/□H vs. R□.

Fig. 6. KS/KT vs. R□.