액-고 경사단면 유동층에서 비선형 흐름의 카오스 해석

이찬기, 연주민, 김준식, 박희영, 강 용, 김상돈*

충남대학교 화학공학과

*한국과학기술원 화학공학과

Chaos Analysis of Non-linear Flow in Liquid-Solid Tapered Fluidized Beds

Chan-Gi Lee, Ju-Min Youn, Jun-Sik Kim, Hee-Young Park, Yong Kang and

Sang-Done Kim*

Dept. of Chemical Engineering, Chungnam National University,

Daeduk Science Town, Taejon 305-764, Korea

*Dept. of Chemical Engineering, KAIST, Taejon 305-701, Korea

서론

유동층의 안정적인 조작에 대한 문제점의 하나로 유동화 입자중에 상대적으로  큰입자나 고밀도 입자가 존재하거나 발생할 경우, 그 입자들이 분산판위에 퇴적해서 유동화의 저해나 전열등으로 이동특성을 저하시키는 경우가 발생한다. 특히 원통형 유동층에 적용되는 입자의 입도범위는 좁은 범위로 한정되어 있기 때문에 넓은 범위의 입도 분포를 필요로 하는 공정에서는 작은 크기의 입자들은 층밖으로 유출되고 큰 입자들은 분산판위에 퇴적될 수 있다. 반면에 경사단면 유동층(tapered fluidized bed)은 일정한 단면적을 가진 원통형 유동층(cylindrical fluidized bed)과는 달리 높이에 따라 단면적이 증가하는 역원뿔형의 구조를 가지고 있어, 층의 하부에서 상부로 갈수록 유입되는 유체의 속도가 감소하게 된다. 따라서 큰 입자들을 안정적으로 유동화시킬 뿐만 아니라 작은 입자들의 비산유출(entrainment)을 막을 수 있는 장점을 가지고 있다. 최근들어 경사단면 유동층은 생화학 반응기, 폐수의 생물학적 처리, 석탄의 액화 및 가스화, 소각 등에 많은 연구가 진행되고 있지만 아직까지 알려지지 않은 많은 특징들이 있어 미흡한 실정이다[1-5].

특히, 액체-고체 유동층에서는 각 유동조건에 따라 유동형태와 특성이 변화하므로 유동입자의 동특성은 액체 유동층 반응기 조업에 매우 큰 영향을 미치는 것으로 알려져 있다[6]. 따라서 본 연구에서는 층 내 유속 변화에 따른 압력변화 특성을 측정하여 압력요동의 통계적 자료들로부터 경사단면 유동층에서 유동입자의 불균일 흐름 즉, 각각의 유동조건에 따른 층 내의 유동형태와 특성을 chaos 이론을 적용하여 해석하고자 한다.

해석

유동층 반응기와 같이 복잡한 거동을 나타내는 계의 특성을 해석하기 위하여 시간에 따른 특정 변수의 변화를 측정하여 시계열(time series)로 나타낼 수 있다. 이러한 시계열을 간단하게 조사하면 분명하게 주기적이거나 준주기적 또는 불규칙한 운동양상이 나타나는데, 시계열만으로는 유동층과 같은 비선형적으로 변하는 복잡한 계를 설명하기에는 어려움이 있기 때문에 좀더 이해하기 쉽게 위상공간으로 표현할 수 있는 방법이 끌개(attractor)이다.

1차원적인  시계열을 다차원적인 끌개로 재구성하고, 그 복잡한 끌개 속에 내재한 질서를 알아내기 위한 방법으로 다양한 정량적인 파라미터가 이용되고 있는데 그 중 가장 널리 이용되고 있는 것이 상관차원(correlation dimension)이다.

경사단면 유동층에서 유동입자의 비선형적 흐름특성을 해석하기 위해서는 압력변동 특성의 해석과 이의 파라미터화가 필수적이라 할 수 있으므로, 본 연구에서는 상관차원(correlation dimension)을 이용하여 압력변동 특성을 해석하였다. 즉, 실험적으로 측정된 압력요동의 시간에 따른 변화자료인 X(t)를 재구성하여 벡터자료로 만들면 다음 식과 같이 표현된다.

[eqn: Z_i `(t`) `=` [ X(i CDOT Delta t`),~ X(i CDOT Delta t `+` tau`), ~CDOTS,~ X(i CDOT Delta t `+` (p `-` 1) tau`) ]]	(1)

[eqn: i ``=`` 0,~ 1,~ 2,~ CDOTS,~ [m`-`(p`-`1)k]]

여기서, [eqn: tau ``=` k CDOT Delta t,~ k `= 1,~ 2,~ 3,~ CDOTS]이며, p는 벡터 Z(t)의 차원이 된다.

이와 같은 자료로부터 자료의 p-차원 투영을 나타내는 p-차원 벡터의 시간의 변화에 따른 자료를 구할 수 있는데, 이때 p는 투영된 재구성된 자료의 위상공간차원을 나타낸다. 따라서 압력변동 신호의 위상상관함수(space correlation function)를 나타내는 상관적분(correlation integral)인 C(r)은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[eqn: C(r`) `= lim from { m -> inf } 1 over m^2 ~ rm [ "number"~ of~ pairs it (i,`` j`)~ rm whose~ distance~ it LEFT | Z_i `(t`) `-` Z_j `(t`) RIGHT | `<` r ]]  (2)

이를 수식화 하면 다음 식으로 표현된다.

[eqn: C(r`) `= lim from { m -> inf } 1 over m^2 SUM from {i=1} to m SUM from {j=1} to m H`` LEFT [r `-` | Z_i (t`) `-` Z_j (t`) RIGHT | ],~ i `!=` j]	(3)

식 (3)에서 m은 처리하는 자료의 수를 나타내고 H는 다음 식으로 정의되는 Heaviside 함수이다.

[eqn: H`` LEFT [r `-` | Z_i (t`) `-` Z_j (t`) RIGHT | ] `=` CASES {1~ if~ r ``>`` | Z_i (t`) `-` Z_j (t`) RIGHT | ## 0~ rm otherwise}]	(4)

통계적으로 처리하여 얻은 상관적분 C(r)을 hypersphere의 반경 r에 대해 다음과 같은 상관식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: C(r`) `= k` r^{D_c}]	(5)

식 (5)에서 k는 상수를 나타내고 DC는 상관차원(correlation dimension)으로 정의된다[7-10].

실험

본 연구에서 사용된 경사단면 유동층 실험장치의 개략도를 Fig. 1에 나타내었다. 경사단면 유동층은 12°의 각을 가진 원뿔형으로 높이가 0.5 m이고 직경이 0.05 m(탑 하부)에서 0.15 m(탑 상부)로 증가된 형태로 되어 있다. 액상으로는 상온의 물을 사용하였고, rotameter를 사용하여 유량을 조절하였다. 고체로는 1∼3 mm의 유리구를 사용하였다(Table 1). 액상(liquid phase)의 균일한 공급을 위하여 perforated plate 형태의 분산판을 탑 아래에 설치하였고 그 위에 200 mesh 체를 깔았다.

유동층의 압력강하를 측정하기 위하여 유동층 벽면에 액체 마노메터를 연결하여 정압력강하를 측정하였다. 분산판으로부터 0.2 m에 압력변환기(VALCOM VPRN-A4-1K-5C)를 설치하여 각 운전 조건에서 정상상태에 도달된 다음 층내의 압력변동을 측정하였다. 층 내부의 동압력은 압력변환기에서 나오는 volt-time signal을 증폭기를 거쳐 A/D converting system을 사용하여 digital 신호로 전환한 후 computer를 이용하여 해석하였다. 압력변동 신호의 측정속도는 500 Hz로 하였고 신호의 크기는 3000개로 하였다.

Table 1. Physical properties of glass beads

Diameter dp(mm)	Voidage in the fixed bed,[eqn: epsilon_0]	Density □(kg/m3)	Initial fixed-bed height, H0(m)
1, 2, 3	0.38	2,500	0.25

결과 및 고찰

경사단면 유동층에서 액체와 고체 입자들의 흐름에서 이들의 상호작용과 접촉에서 파생되는 동적인 거동의 압력변동(pressure fluctuation)을 chaos 이론을 도입하여 고찰하였다. 액-고 경사단면 유동층의 입구액체유속에 대해 층 내부가 정상상태에 도달된 다음에 특정한 압력변동의 시간의 변화에 따른 압력변동 자료를 Fig. 2에 나타내었다. 그림에서 보는바와 같이 압력변동 신호는 유속이 증가함에 따라 압력변동 신호의 진폭이 증가하며 복잡해짐을 알 수 있다.

층 내부를 좀더 효과적으로 해석하기 위해 계(system)의 특성을 나타내는 정보를 기하학적 attractor로 재구성할 수 있다. 압력변동자료들이 가지고 있는 동적 거동의 기하학적 형태를 살펴보기 위하여 상호정보함수로부터 적절한 지연시간 time leg(□=0.002sec)를 선정해서 위상공간(phase space)에 재구성하여 Fig. 3에 나타내었다. Fig. 3에서 볼 수 있듯이 액체 유속의 증가에 따라 attractor의 크기와 분산의 정도가 증가함을 볼 수 있고, 일정한 한계의 크기와 모양을 나타내는 결정론적 카오스 거동을 보임을 알 수 있다.

경사단면 유동층 내부의 복합적인 거동을 해석하는데 있어서 정량적인 파라메타 도입 후 압력신호로부터 상관차원(correlation dimension)을 구하는 것이 매우 효과적이다. Fig. 4는 상관차원을 구하기 위한 예비단계로 식 (2) ∼ (4)의 단계를 거쳐 상관적분 C(r)을 구하여 이를 hypersphere의 반경 r에 대해 도시한 결과이다. Fig. 4의 기울기는 식 (5)에서 표현한 것과 같이 상관차원 값을 나타낸다.

참고문헌

1.	Shi, Y.-F., Yu, Y. S. and Fan, L. T.: Ind. Eng. Chem. Fundam., 23, 484	(1984).

2.	Peng, Y. and Fan, L. T.: AIChE J., 52, 2277(1997).

3.	Toyohara, H. and Kawamura, Y.: Int. Chem. Eng., 33, 525(1993).

4.	Maruyama, T. and Sato, H.: Chem. Eng. J., 49, 15 (1991).

5.	Scott, C. D. and Hancher, C. W.: Biotechnol. Bioeng., XVIII, 1393(1976).

6.	Kang, Y., Nah, J. B., Min B. T., Lee, K. I. and Kim, S. D.: HWAHAK	KONGHAK, 28, 177 (1989).

7.	Fraser, A.,: Physica, D34, 391 (1989).

8.	Woo, K. J., Cho, Y. J., Kim K. I., Kang, Y. and Kim, S. D.: HWAHAK	KONGHAK, 36, 937 (1998).

9.	Kang, Y., Woo, K. J., Ko, M. H. and Kim, S. D.: Chem. Eng. Sci., 52,	3723 (1997).

10.	Van den Bleek, C. M. and Schouten, J. C.: Chem. Eng. J., 53, 75 (1993).

Fig. 1.	Experimental apparatus:
	1. tapered column 2. pump 3. valve 4. rotameter 5. calming section 6. weir	7. reservoir 8. pressure tap 9. pressure transducer 10. amplifier 11. A/D converter 12. computer.