연신공명 불안정성의 bifurcation 분석과 indicator

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

정현욱, 현재천

고려대학교 화공생명공학과

Bifurcation Analysis and Indicator of Draw Resonance Instability

Hyun Wook Jung and Jae Chun Hyun

Dept. of Chemical & Biological Engineering, Korea University

서론

방사공정, 휠름 캐스팅, 휠름 블로윙 공정 등의 신장변형 고분자 공정에서 주로 발생하는 주요 불안정성의 하나인 연신공명(draw resonance)은 연신비 - 권취속도와 압출속도의 비 - 가 커져 임계점에 도달하였을 때 생기는 불안정성으로 휠름의 면적이나 힘이 주기적으로 변하는 특성을 나타낸다. 지난 40여년간 많은 연구자들에 의해 이 현상에 대한 이론적 분석과, 실험적 고찰이 행해져 왔으나[1-3] 아직까지 해결되지 않은 많은 과제가 남아 있다[4].

연신공명은 Eddington[5] 관점에서 overstability이고 singularity이론에 의하면 안정한 supercritical Hopf bifurcation이 된다. Schultz 등[6]은 선형안정성 분석을 활용하여 연신비가 Hopf bifurcation point 이상으로 증가하면 (임계점에 아주 근접한 영역에 국한하여) 진동 주파수가 감소함, 다시 말하면, 진동 주기가 증가함을 살폈다. 또한, 그들은 더욱 불안정한 영역에서의 비선형 과도 응답을 위해 비선형 초기치 문제를 계산하여 supercritical 연신비에서의 해가 안정한 주기해(periodic solutions) 또는 limit cycles을 보임을 밝혔다.

그러나, 계의 supercritical 거동을 체계적으로 규명하기 위해서는 안정한 limit cycles뿐만 아니라 불안정한 limit cycles까지 확인해보고 연신비에 따라 엄밀한 bifurcation diagram을 결정하는 것이 중요하다. 이에 대한 연구를 수행하는 것이 본 연구의 첫 번째 목적이라 할 수 있다. 각 연신비에 대응되는 limit cycles을 구하기 위해 미지수의 진동주기에 해당되는 시간에 대해서 직접 비선형 지배방정식의 과도해를 계산하는 방법을 적용하였다. 각 limit cycle에서의 주기해와 진동주기는 Newton iteration과 pseudo arc-length continuation 기법에 의해 얻어질 수 있다[7,8]. Limit cycles의 안정성은 Jacobian 행렬를 적분함으로써 구성된 monodromy 행렬에 의해 판별된다.

본 연구의 두 번째 목적은 연신공명의 발생과 지속적인 supercritical 진동에 관한 근본적인 물리적 특성을 규명하는데 있다. Hyun 등[9-12]은 방사사선을 따라 전파하는 운동학적 파동(kinematic waves)에 초점을 둔 안정성 기준식 또는 indicator를 고안하였다. 즉, 방사사선의 진동을 지배하는 비선형 과도 방정식으로부터 방사구와 권취지점 사이에 전파되는 많은 종류의 운동학적 파동 중에 세 종류의 파동 - 최대 방사단면적 파동, 최소 방사단면적 파동, 일정 방사토출량 파동 - 의 전파속도와 전파시간을 구하였다. 최종적으로, 이 세 종류의 전파시간과 진동주기가 조합된 식을 제안하여 임계점 전후로 식의 부호가 바뀜을 확인하였다. 그러므로, 이 식은 공정의 안정성을 판별할 수 있는 index라고 할 수 있다. 이러한 조합의 특성은 선형안정성 분석에 의한 dominant eigenfunction 또는, normal mode로부터도 쉽게 예측될 수 있음을 밝혔다. 따라서 연신비가 증가함에 따라 정상상태에서 진동 거동으로의 변화는 공정의 안정한 상태에서 불안정성 상태로의 변화와 동시에 안정한 limit cycles를 보여주는 것이라고 할 수 있다.

이론적 고찰

대상 공정으로는 간단한 Newtonian 유체의 등온 방사공정이며 무차원 지배 방정식은 다음과 같다.

Continuity equation:

[eqn: rm {partial A} over {partial t} `+` partial over partialx left(AV right) ``=`` 0],  [eqn: rm A `≡`a over a_0 `,`` V`≡`v over v_0 `,`` t `≡` {tildet`v_0} over L `,`` x`≡`tildex over L]	(1)

Axial momentum equation:

[eqn: rm partial over partialx left(A`partialV over partialx right) ``=`` 0]	(2)

Boundary conditions:

A=1 and V=1 at x=0, t≥0, V=r at x=1	(3)

여기서 a는 방사단면적, A 무차원 a, v 방사속도, V 무차원 v,[eqn: rm tilde t] 시간, t 무차원[eqn: rm tilde t],[eqn: rm tilde x] 방사거리좌표, x 무차원[eqn: rm tilde x], L 방사거리, r 연신비이고, 하첨자 0은 방사구의 위치를 나타낸다. 실제적으로 다이내 존재하는 prehistory를 최대한 배제하기 위하여 방사구 근처 최대 방사면적을 갖는 지점(extrudate swell)을 방사거리의 출발점으로 선택하였다. 그리고, 중력, 관성력, 공기항력, 표면장력과 같은 이차적인 힘을 무시하여 식을 간단화하였는데, 이들 항이 포함되어도 고찰하고자 하는 기본적인 관점은 변화되지 않는다.

위 지배방정식의 임계점은 선형안정성 분석에 의하여 쉽게 구해진다. 즉, 다음과 같은 perturbed variables을(식(4)) 사용하여 식을 선형화하고, 차분화를 통해 선형화된 식을 eigensystem으로 구성한 후(식(5)) 계산된 고유치(eigenvalue)의 부호로서 공정의 안정성을 판별하게 된다.

[eqn: rm A(x,t) `=` A_s (x) `left[1+alpha(x)`e^{lambda`t} right] `,`` V(x,t) `=` V_s (x) `left[1+beta(x)`e^{lambda`t} right]]	(4)

[eqn: rm lambda`underlinealpha `=` BoldQ`underlinea]	(5)

임계점에서 방사사선은 marginally stable하고 고유치의 허수부는 고유벡터(eigenfunction)에 의해 표현된 미세 진동 파동의 주파수, 진동주기, 파동속도를 나타낸다. 이러한 고유치와 고유벡터에 대한 정보를 안정한 영역과 불안정한 영역에서도 함께 구함으로써 연신비의 변화에 따른 운동학적 파동의 거동을 비교하였다.

임계점(Hopf bifurcation point)보다 큰 연신비의 조건에서는 크게 2가지 해의 경로가 있다. 하나는 정상 유동 상태(steady flow states)에서의 해의 경로이고 다른 하나는 진동 유동 상태(oscillatory flow states)의 해가 그것이다. 주기 진동의 limit cycles은 보통 초기치문제를 계산하여 상당한 계산시간동안 적분하여 얻는게 일반적인데, 이러한 방법으로 얻어진 주기해는 항상 안정한 limit cycles을 준다는 단점이 있다. 그러므로, 주기해의 완전한 bifurcation 거동을 살피기 위해서는 초기치 문제를 경계치 문제로 변환하여 직접 주기해를 구하고 그 안정성을 판별할 필요가 있다. 본 연구에서 이러한 문제는 pseudo arc-length continuation기법을 포함한 Newton 방법으로 해결하였다[7].

결과 및 토의

그림 1은 Newton 방법에 의해 얻어진 주기해의 bifurcation diagram을 나타낸다. 임계연신비 20.218을 기준으로 이보다 큰 연신비에서 주기적인 진동의 해를 갖는 경우 연신비가 증가할수록 권취지점에서의 방사면적의 과도치가 sinusoidal한 곡선에서 공정의 비선형 특성으로 인해 점점 skewed되고, 진동의 주기와 진폭도 커짐을 살폈다. 임계점 이상에서 해의 두 가지 경로가 제시되어 있다. 임계연신비 이상의 조건에서 정상상태 해는 선형안정성 분석을 통해 불안정함이 이미 증명되었고 주기적인 진동을 갖는 해의 경우는 monodromy 행렬의 고유치(=Floquet multipliers)를 계산한 결과 연신비가 증가함에 따라 limit cycles은 더욱 안정해졌다. Schultz 등[6]에 의한 bifurcation 분석은 임계점 근처로 극히 제한되는 반면, 본 연구에서 제안된 기법으로는 임의의 조건에서도 적용가능한 엄밀한 방법이라고 할 수 있다.

Hyun 등[9-12]은 비선형 과도응답으로부터 구한 방사사선에 전파되는 여러 운동학적 파동의 특성을 이용하여 연신공명의 불안정성을 판별하기 위한 indicator식을 개발하였다(식(6)).

[eqn: rm 2`t_L `+`T over 2 ``≥`` 2`theta_L ~for ~r``≤``r_C]	(6)

여기서 tL은 AV가 1인 토출량 파동의 전파시간, □L은 최대 또는 최소 방사단면적의 전파시간, T는 진동 주기를 의미한다.

식(6)의 관계는 선형안정성 분석으로부터 얻어지는 고유치와 고유벡터만으로 쉽게 도출될 수 있다. 그 이유는 leading eigenmode 또는 normal mode가 주기해를 직접 나타내주고 있기 때문이다. 예로써, 임계점에서 leading eigenfunction은 그 자체의 속도로 방사사선을 전파한다. 이러한 eigenmode로부터 구한 최대 또는 최소 방사단면적의 전파시간은 진동주기의 0.566이고, 토출량의 전파시간은 0.316으로 Kim 등이[10] 구한 결과와 일치하였다. 그림 2는 식(6)의 두 항을 고유치와 고유벡터로부터 구한 결과(symbols)와 비선형 과도응답으로부터 구한 결과(lines)를 비교한 것이다. 임계점 이상에서 선형계의 정보가 비선형계로부터 구한 것과 수치는 다르지만 임계점을 중심으로 식(6)의 두 항의 부호를 다르게 한다는 점에서 동일한 결과를 제공한다. 그러므로, 선형화된 계의 eigenmode로부터 연신공명에 대한 indicator를 도출하는 방법은 탄성, 냉각, 이차적인 힘 등을 포함하는 방사공정이나 다른 복잡한 고분자 공정에도 쉽게 적용될 수 있다.

참고문헌

1. Peason, J. R. A. and Matovich, M. A.: Ind. Eng. Chem. Fundam., 8, 605 (1969).

2. Gelder, D.: Ind. Eng. Chem. Fundam., 10, 534 (1971).

3. Liu, B. and Beris, A. N.: J. Non-Newt. Fluid Mech., 26, 363 (1988).

4. Petrie, C. J. S.: Progress and Trends in Rheology II, 9 (1988).

5. Drazin, P. G. and Reid, W. H.: "Hydrodynamic Stability", Cambridge Univ. Press,

Cambridge, UK (1981).

6. Schultz, W. W., Zebib, A., Davis, S. H. and Lee, Y.: J. Fluid Mech., 149, 455 (1984).

7. Jung, H. W., Hyun, J. C. and Scriven, L. E.: In preparation (2002).

8. Holodniok, M. and Kubicek, M.: J. Comput. Phys., 55, 254 (1984).

9. Hyun, J. C.: AIChE J., 24, 418 & 24, 423 (1978).

10. Kim, B. M., Hyun, J. C., Oh, J. S. and Lee, S. J.: AIChE J., 42, 3164 (1996).

11. Jung, H. W., Choi, S. M. and Hyun, J. C.: AIChE J., 45, 1157 (1999).

12. Jung, H. W., Song, H.-S. and Hyun, J. C.: AIChE J., 46, 2106 (2000).

Figure 1. Bifurcation diagram: amplitude of the periodic spinline area at the take-up

along drawdown ratio.

Figure 2. Comparison of the results by nonlinear transient problem (lines) and

eigenproblems (symbols) as to the indicator equation of draw resonance.