초기에 안정하게 성층화되어 있는 유체층에서 급격한 온도 변화에 의한 대류 불안정성 발생

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

박희관, 김민찬*, 최창균

서울대학교 공과대학 응용화학부

제주대학교 공과대학[eqn: rm 화학공학과^*]

The Onset of Convective Instability of an Initially, Stably Stratified Fluid Subjected to a Step Change in Temperature

H.K. Park, M.C. Kim*, and C.K. Choi

School of Chemical Engineering, Seoul National University

Department of Chemical Engineering, Cheju National University

서론

자연대류는 중력장 하에서 부력이나 표면장력의 차이에 의해 발생되는 물리적 현상이다. 부력에 의한 자연대류는 열 또는 물질전달이 일어나는 각종 화공장치의 설계에서 자주 볼 수 있으며, 자연대류에 의한 유동은 실제 공정에서 열 및 물질전달 특성에 영향을 미치므로 이에 대한 연구가 진행되어 왔다. 이러한 자연대류에 관한 연구는 대기의 모델링 및 제품의 균질화, 순수화를 요구하는 결정성장, 전자소재의 가공 등의 영역에서 중요한 기여를 하고 있다.

본 연구에서는 고정 경계면으로 이루어진 초기에 안정화된 수평 유체층의 밑면을 등온으로 가열하는 계에 대하여 대류 발생 시점을 전파 이론[1, 2]을 적용하여 안정성 해석을 하고, 해석 결과를 기존의 실험결과를 비교하였다.

이론

본 연구에서는 Figure 1과 같은 유체층의 깊이가 d인 두 개의 고정 경계면 사이에 초기 정지 상태에 있는 유체층을 기본계로 설정하여 밑면이 갑자기 등온가열되는 계에 대하여 고찰하였다. 이러한 경우 초기 유체층의 선형 온도분포는 비선형적으로 변하게 되며, 온도차[eqn: rm (T_b -T_u )]에 의해 발생하는 부력에 의해 대류가 일어날 것이다. 이때 유체층은 비압축성 뉴튼 유체이며, 밀도가 온도에 대해 선형으로 변하고, 외력에 의한 밀도 변화를 제외하고는 밀도가 일정하다는 Boussinesq가정을 도입하면 계는 다음과 같은 Navier-Stokes 식, 에너지 방정식, 상태 방정식에의하여 지배된다.

[eqn: rm rho_i [ { partial} over {partial t } + {bold U} CDOT { TRIANGLED} ]~{bold U}=- {TRIANGLED} P+ mu TRIANGLED^2 {bold U} +rho vecg]

(1a)

[eqn: rm [ { partial} over {partial t}+ {bold U} CDOT {TRIANGLED} ]T= alpha TRIANGLED^2 T]

(1b)

[eqn: rm rho=rho_i [ 1- beta (T-T_i )]]

(1c)

여기서 [eqn: rm `U,`P, rho_i ,`mu,`T,`T_i]는 각각 속도 벡터, 압력, 유체층의 초기 밀도, 점도, 유체층의 온도, 유체층의 초기 밑면온도를 나타낸다.

본 연구에서 고려되는 계에서 부력에 의한 자연대류 현상을 설명하는 데 중요한 무차원군인 Rayleigh수, Ra와 Prandtl수 Pr, 그리고 온도기울기 □는 다음과 같이 주어진다.

[eqn: rm Ra={g beta Delta T d^3 } over{ alpha nu} ,~~Pr = {nu} over {alpha} , ~~□= {T_u - T_i } over {T_b - T_i }]

여기서[eqn: rm g,~beta,~nu,~alpha]는 각각 중력 가속도, 부피 팽창계수, 동점도, 열 확산계수 이다. 계를 서서히 가열하는 경우, 즉 온도 구배가 선형인 경우에는 Rayleigh수가 1708/(1-□)를 초과했을 때 대류가 발생하게 된다. 하지만, 본 연구와 같은 급격한 가열의 경우에 온도는 시간의존형, 비선형 분포를 보이게 되고, 대류 발생임계 시점을 밝히는 것이 중요한 문제가 된다. [eqn: d^2 / alpha], [eqn: d]를 시간과 길이 척도로 사용하여 무차원화하고, Laplace 변환법으로 온도 분포를 구하면 다음과 같은 무차원화된 기본 온도 분포 [eqn: rm theta _0 ( = (T_0 - T_u ) / (T_b -T_i ))]는 다음과 같이 주어진다.

[eqn: theta _0 = -□(1-□ sqrt □ ) + sum from n=0 to ∞ "{"rm erfc ( n over sqrt □ + □ over 2 ) - rm erfc ( n+1 over sqrt □ - □ over 2 ) "}"]

(2)

Navier-Stokes 식과 에너지 방정식에 2차 이상의 교란량을 무시하는 선형 안정성 이론을 적용하면, 온도 성분[eqn: rm theta _1], 속도 성분[eqn: rm w_1]에 대한 다음과 같은 교란식이 얻어진다.

[eqn: rm ( 1 over Pr partial over partialtau - del^2 )del^2 w_1 = del_1 ^2 theta _1]

(3a)

[eqn: rm {partial theta_1 } over { partial tau } + Ra w_1 { partial theta_0 } over { partial z } = Del^2 theta_1]

(3b)

여기서 [eqn: del _1 ^2]은 2차원 Laplacian이다. 위식의 경계조건은 밑면이 등온으로 가열되는 조건, 양고정경계면에서 no-slip조건과 연속방정식으로부터 추가된 경계조건에 의해서 다음과 같다.

[eqn: rm w_1 = {partial w_1} over {partial z} = theta _1 = 0~ ,~~~~~at~~ z=0,~ 1]

(4)

이제 발생된 교란량이 다음과 같이 수평면상에서 무한대라고 보아 측면 현상을 무시하였으므로, 아래와 같은 주기적인 교란형태를 보일것으로 가정한다.

[eqn: rm [w_1 (tau, x, y,z) , theta_1 (tau, x, y, z)] = [w_1 (tau, z), theta_1 (tau, z)] exp[i (a_x x+a_y y )]]

(5)

여기서 i는 허수이고,[eqn: rm a_x]와[eqn: rm a_y]는 x, y 방향의 파수를 나타낸다. 전파이론은 교란량들의 변화가 일어나는 열침투 깊이를 길이단위로 교란량을 무차원하여 안정성해석을 수행한다. 전파이론에 의해 위의 속도와 온도 교란량은 다음과 같이 전환된다.

[eqn: rm [w_1 (tau,z),theta_1 (tau,z)]= [ tau w^* (zeta),theta^* (zeta)]]

(6)

위의 관계를 도입하면 다음과 같은 지배방정식이 얻어진다.

[eqn: rm (D^2 -a^*^2 )^2 w^* = a^*^2 theta^* - 1 over Pr left[ 1 over 2 zeta D^3 w^* -{ a^*^2 } over 2 zeta Dw^* +a^*^2 w^* right]]

(7a)

[eqn: rm ( D^2 - a^* ^2 )theta^* = rm - zeta over 2 D theta^* + Ra^* tau^2 D theta_0]

(7b)

이때의 경계조건은 아래와 같다.

[eqn: rm w ^* = D w^* = theta^* =0~, ~~at~~zeta=0~and~ 1/sqrttau]

(8)

여기서 [eqn: rm D= d/d zeta,~a^* = tau ^1/2 a],[eqn: rm a= sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}], [eqn: rm Ra^* = tau ^3/2 Ra]이다.

위의 안정성 방정식을 풀기 위하여 □outward shooting" 방법을 사용하였다. 안정성 방정식을 적분하기 위해 우선 주어진 Pr과 [eqn: rm a^*]에 대하여 [eqn: zeta=0]에서[eqn: rm D^2 w^* ,~D^3 w^* , ~ D theta^*]를 가정한다. 지배방정식과 경계조건이 균일하므로 고유치 문제 특성상 [eqn: rm D^2 w^* (0)]은 임의로 고정시키고, 고유치[eqn: rm Ra^*]의 값을 가정한다. 그리고, Runge-Kutta-Gill 4차 방법을 사용하여 [eqn: zeta=0]에서[eqn: zeta = 1 / sqrt tau]까지 적분한다. 만약 [eqn: zeta=0]에서 가정한 [eqn: rm D^3 w^* ,~theta^* , ~Ra^*]의 값이 옳다면 [eqn: □= 1 / sqrt tau]에서 [eqn: rm w^* ,~D w^* , ~theta^*]의 값이 0에 수렴한다. 만약 0이 되지 않으면 [eqn: rm D^3 w^* ,~theta^* , ~Ra^*]의 값들을 Newton-Raphson 방법에 의해 다시 가정하여 반복 계산한다. 결국 0에 수렴하게 되면 고유치 [eqn: rm Ra^*]의 값을 얻을 수 있으며 처음 고정한 [eqn: tau]는 임계시간이 된다.

결론

전파이론을 사용하여 대류발생시점을 나타내는 임계시간 [eqn: tau_c]를 구하였다. Figure 2 에서 보이는 바와 같이 □가 증가할수록 계가 안정해짐을 알 수 있었으며 큰 [eqn: tau_c]에 대해서는 Pr에 관계없이 잘 알려진 값이 1708/(1-□)에 접근하였다. 그리고, 큰 □값에 대해서는 다중세포대류와 임계상태로 인해  최소[eqn: rm Ra_c]가 나타나고 있다. □≥1 인 구간에서는 □가 어느정도 커지면 불안정성이 해소되어 안정하게 된다.  Pr값이 감소함에 따라 계가 안정해지는 결과는 Figure 3에 보이며, Pr>100에서는 Pr값에 관계없이 [eqn: tau_c]가 일정함을 알 수 있다. □=0에서 아래의 상관식은 수치해석결과와 5%의 오차범위를 갖는다.

[eqn: rm tau_c = 7.53 left[ 1+ ( 0.804 over Pr )^3/4 right]^8/9 Ra ^-2/3 ~~~~~~for ~~tau_c~ <~ 0.01]

(9)

Foster[3]는 대류가 명백히 관찰되는 시점을 [eqn: tau_m]이라 했을 때 교란관계식을 통하여 예측한 시간 [eqn: tau_c]와는 [eqn: tau_m □ 4tau_c] 의 관계가 있다고 발표했다. 이는 [eqn: tau_c]에서 발생된 불안정한 초기교란이 가시화되기까지는 시간이 걸리기 때문이다. Inoue[4] 등과 Patrick과 Wragg[5]는 Schmidt수가 2000보다 큰 전기화학계에서 시간에 따른 개별물질전달계수를 측정하였다. Figure 4는 그 실험결과에서 알 수 있는 대류발생시점과 전파이론에 의해 구한 [eqn: tau_c]와 비교한 그래프로 4배 확장한 4[eqn: tau_c]와 실험결과가 거의 일치함을 알 수 있다.

참고문헌

1. Kim, M.C., Choi, K.H. and Choi, C.K., Int. J. Heat Mass Transfer, 42, 4253- 4258 (1999)

2. Kang, K.H., Choi, C.K. and Hwang, I.G., AIChE J., 46, 15-23 (2000)

3. Foster, T.D., Phys. Fluid, 12, 2482-2487 (1969)

4. Patrick, M.A. and Wragg, A.A., Int. J. Heat Mass Transfer, 18, 1397-1405 (1975)

5. Inoue, Y., Akutagawa, S., Saeki, S. and Ito, R., Kagakugogaku Ronbunshu, 9, 359-369 (1983)

Figure 1. Temperature profiles in conduction state		Figure 2. Effect of the temperature ratio □ on the critical time [eqn: tau_c] for a given Ra

Figure 3. Effect of Pr on the critical time [eqn: tau_c]		Figure 4. Comparison of present predictions with experimental data of electroplating system for a given Ra

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